[论文解读] Characterizing linear groups in terms of growth properties

Khalid Bou-Rabee, D. B. McReynolds|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 18被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于双曲群，线性性由两个剩余有限性函数的多项式增长速率所刻画：一个衡量在有限域上最小线性表示的大小（$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$），另一个衡量最小有限单群商的大小（$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$）。关键结果表明，任一函数的多项式增长等价于该群在某个域上存在忠实的线性表示。

ABSTRACT

Residual finiteness growth measures how well-approximated a group is by its finite quotients. We prove that some related growth functions characterize linearity for a class of groups including all hyperbolic groups.

研究动机与目标

• 通过剩余有限性函数的增长率来刻画双曲群何时是线性的。
• 建立$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$或$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$的多项式增长意味着存在忠实线性表示的结论。
• 提供一个与域特征无关的、关于双曲群线性性的群论刻画。
• 利用超积和表示理论，统一基于增长的剩余有限性条件与线性可表示性。

提出的方法

• 定义三个函数：$\operatorname{D}_{\Gamma}(\gamma)$、$\operatorname{L}_{\Gamma}(\gamma)$ 和 $\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)$，分别衡量检测非平凡元素 $\gamma\in\Gamma$ 的有限商群、线性群和有限单群的最小大小。
• 将增长函数 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ 和 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ 定义为在字长不超过 $m$ 的元素上，$\operatorname{L}_{\Gamma}(\gamma)$ 和 $\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)$ 的最大值。
• 使用超积技巧和有界投影秩条件，从具有受控表示增长的有限群序列构造忠实的线性表示。
• 应用归纳法和表示诱导（$\mathrm{Ind}_{\Gamma_0}^{\Gamma}$）将有限指数正规子群上的表示扩展到整个群。
• 利用关于一致强 $p$-滤子和子群 $\zeta$-函数的结果，将增长速率与 Zariski 闭包维数联系起来。
• 证明 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ 或 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ 的多项式增长，与存在一个忠实线性表示进入 $\mathrm{GL}(n,\mathbf{K})$ 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ 的最小线性群大小的多项式增长是否刻画了双曲群的线性性？
• RQ2 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ 的最小有限单群商大小是否也能刻画线性性？
• RQ3 双曲群中，线性和单群剩余有限性函数的增长是否存在统一等价关系？
• RQ4 有限商群的有界投影秩是否能推出忠实线性表示的存在？
• RQ5 剩余有限性函数的增长率与线性表示的 Zariski 闭包维数有何关系？

主要发现

• 对于双曲群 $\Gamma$，若存在 $D\in\mathbf{N}$ 使得 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)\preceq m^D$，则 $\Gamma$ 在某个域上是线性的。
• 若 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ 为多项式增长，即 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)\preceq m^{D'}$，则其刻画了 $\Gamma$ 的线性性。
• 存在一个有限指数、无扭、一致马拉贝利安的正规子群 $\Gamma_0\leq\Gamma$，可将问题约化至该子群。
• 若 $\Gamma_0$ 在 $\operatorname{F}_{\Gamma_0,\operatorname{L}}(m)$ 或 $\operatorname{F}_{\Gamma_0,\operatorname{S}}(m)$ 上具有多项式增长，则 $\Gamma$ 同样具有，反之亦然。
• 若 $\Gamma$ 是线性的，则检测非平凡元素 $\gamma$ 的最小有限单群大小满足 $\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)\leq C'\|\gamma\|^{D}$，其中 $C', D\in\mathbf{N}$。
• 证明利用了具有有界投影秩的有限群超积来构造域上的忠实线性表示，依赖于引理 2.1 和有界秩条件。