[论文解读] Characterizing volume via cone duality

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过Kähler锥与正(n-1,n-1)-当前锥之间的对偶性，引入了一类新的1-循环在紧致Kähler流形上的交比理论体积泛函。该体积泛函由交数的下确界表征，推广了经典的除子体积，并与移动性泛函密切相关，其应用涵盖Fujita逼近与Calabi-Yau度量。

ABSTRACT

For divisors over smooth projective varieties, we show that the volume can be characterized by the duality between pseudo-effective cone of divisors and movable cone of curves. Inspired by this result, we give and study a natural intersection-theoretic volume functional for 1-cycles over compact Kähler manifolds. In particular, for numerical equivalence classes of curves over projective varieties, it is closely related to the mobility functional.

研究动机与目标

• 将体积概念从除子推广至紧致Kähler流形上的1-循环，利用对偶性原理。
• 为曲线的数值等价类定义一个新的交比理论体积泛函。
• 建立新体积泛函的连续性、拟凹性及正定性判据。
• 探索其与现有不变量（如移动性与Calabi-Yau度量）的联系。
• 提出一个适用于高余维循环类的体积泛函定义的一般框架。

提出的方法

• 将1-循环类的体积定义为体积为1的Kähler类上的下确界：$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma) = \inf_{\beta \in \mathcal{K}_1} \max(\langle \beta, \gamma \rangle, 0)^{n/(n-1)}$。
• 利用Kähler锥$\mathcal{K}$与正(n-1,n-1)-当前锥$\mathcal{N}$之间的锥对偶性推导该泛函。
• 借助奇异Calabi-Yau定理，将体积与给定体积形式的Monge-Ampère方程解联系起来。
• 通过Monge-Ampère解中出现的常数$c_{\Phi,\omega}$的下确界，引入新不变量$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$。
• 应用Legendre-Fenchel型对偶性，将构造推广至高余维循环类。
• 利用对偶关系$\mathcal{K}^\vee = \mathcal{N}$及移动锥的结构，证明其在内部的连续性与严格正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过锥对偶性，以类似于除子的方式表征紧致Kähler流形上1-循环的体积？
• RQ2 新体积泛函与循环的移动性泛函之间有何关系？
• RQ3 新体积泛函在整个Néron-Severi空间的1-循环上是否连续且拟凹？
• RQ4 能否利用对偶性原理将体积泛函扩展至高余维循环类？
• RQ5 对于所有Gauduchon类，不变量$\mathfrak{M}_{CY}$与$\mathfrak{M}$是否恒等？

主要发现

• 1-循环类$\gamma$的体积为$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma) = \inf_{\beta \in \mathcal{K}_1} \max(\langle \beta, \gamma \rangle, 0)^{n/(n-1)}$，其在$H^{n-1,n-1}_{BC}(X,\mathbb{R})$上连续且拟凹。
• 泛函$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma)$正定当且仅当$\gamma$属于锥$\mathcal{N}$的内部。
• 新体积泛函与移动性泛函密切相关，且在Kähler类情况下二者相等。
• 通过Monge-Ampère方程解定义的不变量$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$满足对所有Gauduchon类$\gamma$有$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma) \leq \mathfrak{M}(\gamma)$，且在Kähler类情况下等号成立。
• 通过Legendre-Fenchel型对偶性，该构造可推广至高余维情形，但当$k \neq n-1$时，$\mathcal{N}_k$的对偶结构仍为开放问题。
• 尽管$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$的定义涉及任意体积形式与Gauduchon度量的下确界，其在紧致Kähler流形上始终为有限值。