[论文解读] Characters of Crossed Modules and Premodular Categories

P. Bántay|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文提出了一种构造方法，将任意有限交叉模与一个预模形式范畴相关联，该方法推广了有限群及其双重的表示范畴。关键结果是该范畴的 S-矩阵满足 $S^8 = S^4$，表明其一般情况下不满足模形式性，除非边界映射为双射；此时通过模形式化可使其成为模张量范畴。

ABSTRACT

A general procedure is presented which associates to a finite crossed module a premodular category, generalizing the representation categories of a finite group and of its double, and the extent to which the resulting category fails to be modular is explained.

研究动机与目标

• 将有限群及其双重的模张量范畴构造方法推广至更广泛的代数结构类别。
• 为有限交叉模系统地建立与辫子张量范畴的关联框架。
• 分析所得范畴在多大程度上不满足模形式性，特别是通过其 S-矩阵的性质。
• 确定预模形式范畴可被模形式化为真正模张量范畴的条件。
• 探索交叉模与共形场论中广义轨道理论之间的联系。

提出的方法

• 为有限交叉模 $\mathcal{X} = (\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \mu, \partial)$ 定义一个张量范畴 $\mathscr{M}(\mathcal{X})$，其对象为满足群作用相容性条件的三元组 $(V, P, Q)$。
• 通过不可约表示引入交叉模的特征标，使用特征表，其中条目 $S_{pq}$ 定义为 $S_{pq} = \sum_{x \in \mathcal{X}_1} \omega_p(x) \overline{\omega_q(x)} \delta_{\partial x, 1}$。
• 推导出类似 Verlinde 的融合规则公式，表明 $N_{pq}^r S_{rs} = \frac{S_{ps} S_{qs}}{S_{\mathbf{1}s}}$ 且 $\sum_r N_{pq}^r \omega_r^{-1} S_{\mathbf{1}r} = \omega_p^{-1} \omega_q^{-1} S_{pq}$。
• 通过关系 $S^8 = S^4$ 分析 S-矩阵，该关系暗示其非可逆性，表明一般情况下模形式性不成立。
• 证明真空对象 $\mathbf{\underline{0}}$ 仅在 $\partial$ 为双射时才不可约，其不可约分量的重数为 $\mu_p = D [S^2]_{\mathbf{1}p}$。
• 应用 Bruguiffres 的模形式化判别准则，表明若 $\mathbf{\underline{0}}$ 的不可约分量满足 $S_{pq} = \alpha S_{\mathbf{1}q}$（对某个 $\alpha$），则 $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ 可被转化为模张量范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从有限交叉模构造预模形式范畴？
• RQ2 所得范畴的 S-矩阵在何种程度上不可逆？这对模形式性有何含义？
• RQ3 边界映射 $\partial$ 在何种条件下使该范畴成为模形式的？
• RQ4 该构造中的融合规则与特征公式如何推广 Verlinde 公式？
• RQ5 该预模形式范畴能否被模形式化？这对广义轨道共形场论有何意义？

主要发现

• 范畴 $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ 的 S-矩阵满足 $S^8 = S^4$，表明其一般情况下不可逆，因此该范畴不满足模形式性。
• 真空对象 $\mathbf{\underline{0}}$ 仅在边界映射 $\partial$ 为双射时才不可约，对每个不可约分量 $p$，其重数为 $\mu_p = D [S^2]_{\mathbf{1}p}$。
• 满足对所有 $q$ 有 $S_{pq} = \alpha S_{\mathbf{1}q}$ 的不可约对象恰好是 $\mathbf{\underline{0}}$ 分解中的分量，且对这样的 $p$，有 $\omega_p = 1$ 且 $\alpha = d_p$。
• 范畴 $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ 当且仅当 $\partial$ 为双射时成为模形式的，这等价于 $\mathcal{X}$ 同构于某个有限群 $G$ 的 $\mathcal{D}G$。
• 该范畴满足类似 Verlinde 的公式：$N_{pq}^r S_{rs} = \frac{S_{ps} S_{qs}}{S_{\mathbf{1}s}}$ 且 $\sum_r N_{pq}^r \omega_r^{-1} S_{\mathbf{1}r} = \omega_p^{-1} \omega_q^{-1} S_{pq}$。
• Bruguiffres 的模形式化判别准则适用，使得 $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ 可通过商掉 $S^2$ 的核，唯一地转化为模张量范畴。