[论文解读] Chebyshev's conjecture and the prime number race

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文研究了切比雪夫关于质数竞赛的猜想，证明在广义黎曼猜想（ERH）假设下，由于狄利克雷L函数零点形成的有限障碍，对于大x，某些模k的质数计数排序无法出现。研究通过L函数零点行为的显式分析，解决了比较质数理论中的关键问题，表明特定的相对质数计数序列无法无限次出现。

ABSTRACT

We survey results about prime number races, that is, results about the relative sizes of prime counting functions $π_{q,a}(x)$, with $q$ fixed and $a$ varying. In particular, we describe recent work by the authors on these problems.

研究动机与目标

• 解决比较质数理论中关于算术级数中质数频率与排序的长期悬而未决问题。
• 研究在大x时，π(x,k,l)函数的某些排序是否可被阻止无限次出现。
• 基于狄利克雷L函数的零点，建立质数计数分布中有限或无限障碍的存在性。
• 分析s > 1/2时L函数非零对切比雪夫猜想及质数计数差值符号变化的影响。
• 通过证明在ERH下，某些自然的质数计数排序无法对任意大的x出现，扩展类似Littlewood的结果。

提出的方法

• 使用显式公式将π(x,k,l)与狄利克雷L函数L(s,χ)的非平凡零点之和联系起来，特别关注满足Re(ρ) > β > 1/2且Im(ρ) > 0的ρ。
• 应用引理4.1，将差值Δ(x,k,l₁,l₂)表示为零点之和的实部，误差项为O(x^β log²x)，从而实现渐近分析。
• 通过假设L(s,χ)在临界线右侧存在孤立零点，构造有限障碍，表明对于大x，π(x,k,l)的某些排序无法出现。
• 运用克罗内克定理及零点虚部在Q上的线性无关性，证明若零点在Q上线性无关，则所有φ(k)!种排序均可出现。
• 针对k=5且有r=4名参赛者的质数竞赛情形，证明若L(s,χ₁)在σ+it处存在一个零点且σ>1/2，则排序π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)无法对大x成立。
• 通过在不同字符间使用多个零点，将结果推广至r=3情形，表明在合适的零点分布假设下，障碍可阻止三重排序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义黎曼猜想下，排序π(x,k,l₁)>π(x,k,l₂)>…>π(x,k,l_r)是否可被阻止对任意大的x出现？
• RQ2 狄利克雷L函数的有限或无限个零点是否形成障碍，阻止某些质数计数排序无限次出现？
• RQ3 是否可构造障碍，阻止π(x,k,l₁) ≥ π(x,k,l₂)在x的正上密度下成立的性质？
• RQ4 是否可构造障碍，阻止两个剩余类在质数竞赛中同时持续占优？
• RQ5 是否存在障碍，阻止某一剩余类在大x时始终领先或始终落后？

主要发现

• 对于k=5且l₁=1, l₂=4, l₃=2, l₄=3，若L(s,χ₁)在σ+it处存在一个零点且σ>1/2且t较大，则排序π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)无法对大x成立。
• 差值Δ(x,k,l₁,l₂)被上界为 -C x^σ / (t log x)，其中C>0，意味着该排序无法渐近成立。
• 若L函数零点的虚部在Q上线性无关，则即使在ERH下，所有φ(k)!种π(x,k,l)排序也会在无界x集合上出现。
• 在ERH假设下，可为阻止首次符号变化或平均占优性质构造障碍，适用于许多k, l₁, l₂。
• 对于r=3，当多个不同字符的零点位于临界线右侧且虚部线性无关时，可构造阻止三重排序的障碍。
• 本文表明，在ERH下，仅存在一个σ>1/2且t较大的零点，即可阻止某些排序出现，即使所有其他L函数在临界带内无零点。