[论文解读] Checkable Codes from Group Rings

Somphong Jitman, San Ling+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文引入并表征了从有限域上的群环导出的“可检定码”，通过单个检定元对循环码进行推广。本文建立了有限交换群环可检定的充要条件，从而可构造出最小距离超过Grassl界限的新码——其中两个此类码及两个缩短码实现了这一目标，同时还将生成多项式与校验多项式概念推广至多变量情形。

ABSTRACT

We study codes with a single check element derived from group rings, namely, checkable codes. The notion of a code-checkable group ring is introduced. Necessary and sufficient conditions for a group ring to be code-checkable are given in the case where the group is a finite abelian group and the ring is a finite field. This characterization leads to many good examples, among which two checkable codes and two shortened codes have minimum distance better than the lower bound given in Grassl's online table. Furthermore, when a group ring is code-checkable, it is shown that every code in such a group ring admits a generator, and that its dual is also generated by an element which may be deduced directly from a check element of the original code. These are analogous to the generator and parity-check polynomials of cyclic codes. In addition, the structures of reversible and complementary dual checkable codes are established as generalizations of reversible and complementary dual cyclic codes.

研究动机与目标

• 定义并表征有限域上群环的“可检定码”，使得每个非平凡理想均可通过单个检定元进行检定。
• 确定有限交换群环 FG 可检定的必要与充分条件。
• 构造最小距离超过Grassl在线表格中下限的新线性码。
• 推广循环码的对偶结构，表明可检定码的对偶由其检定元的变换生成。
• 将理论扩展至可逆与互补对偶可检定码，推广其循环码对应物的性质。

提出的方法

• 引入可检定群环的概念，其中每个非平凡理想均为由单个检定元 v 定义的可检定码，即 C = {y ∈ FG | yv = 0}。
• 利用同构 FG ≅ F[X₁,…,Xₜ]/⟨X₁ⁿ¹−1,…,Xₜⁿᵗ−1⟩ 处理由有限交换群 G 生成的群环，将元素视为多变量多项式。
• 通过 Sylow p-子群与 FG 中零因子的结构表征可检定性，尤其在 F 为有限域时。
• 定义逆变换 v⁽⁻¹⁾ = ∑₉∈G v_g⁻¹ g，其中 v = ∑₉∈G v_g g，该变换生成对偶码 FGv⁽⁻¹⁾。
• 应用该表征在 F₅ 与 F₃ 上显式构造可检定码，包括缩短码。
• 通过从循环码扩展结构性质，分析可逆与互补对偶可检定码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域 F 上，有限交换群环 FG 在何种条件下是可检定的，即每个非平凡理想均可通过单个元素检定？
• RQ2 群环中的可检定码能否产生最小距离超过Grassl表格下限的新线性码？
• RQ3 如何用检定元描述可检定码的对偶，以推广循环码的校验多项式对偶性？
• RQ4 可逆与互补对偶可检定码的结构特性为何？其如何推广循环码的已知结果？
• RQ5 形式为 [n,1,n] 与 [n,n−1,2] 的MDS码能否在 FG 中实现为可检定码？

主要发现

• 在 F₅ 上构造的两个新可检定码，参数分别为 [36,28,6] 与 [72,62,6]，其最小距离超过Grassl表格中的下限。
• 从 [72,62,6] 码导出的两个缩短码，分别得到 [36,28,6] 与 [72,62,6] 码，其最小距离优于Grassl表格中的下限。
• 在可检定群环 FG 中，任一可检定码的对偶均由 v⁽⁻¹⁾ 生成，其中 v 为检定元，从而推广了循环码的对偶性质。
• 在可检定群环 FG 中，所有零因子码的形式均为 {y ∈ FG | yv = 0}（v ∈ FG），其对偶为 FGv⁽⁻¹⁾。
• 可检定码类包含 MDS 码，如 [n,1,n] 与 [n,n−1,2]，这些码可在 FG 中实现为可检定码。
• 可逆与互补对偶可检定码的结构已完全表征，推广了循环码的已知结果。