[论文解读] Checkerboard Problem to Topology Optimization of Continuum Structures

Junichi Koga, Jiro Koga+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Topology Optimization in Engineering被引用 5

一句话总结

本文为使用SIMP和BESO方法进行连续体结构拓扑优化中的过滤方法提供了理论基础。它表明，基于单位分解的敏感性过滤与低通滤波器卷积可消除棋盘图案并确保网格无关性，从而解决了密度基拓扑优化中长期存在的数值不稳定性问题。

ABSTRACT

The area of topology optimization of continuum structures of which is allowed to change in order to improve the performance is now dominated by methods that employ the material distribution concept. The typical methods of the topology optimization based on the structural optimization of two phase composites are the so-called variable density ones, like the SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) and the BESO (Bi-directional Evolutional Structure Optimization). The topology optimization problem refers to the saddle-point variation one as well as the so-called Stokes flow problem of the compressive fluid. The checkerboard patterns often appear in the results computed by the SIMP and the BESO in which the Q1-P0 element is used for FEM (Finite Element Method), since these patterns are more favourable than uniform density regions. Computational experiments of SIMP and BESO have shown that filtering of sensitivity information of the optimization problem is a highly efficient way that the checkerboard patterns disappeared and to ensure mesh-independency. SIn this paper, we discuss the theoretical basis for the filtering method of the SIMP and the BESO and as a result, the filtering method can be understood by the theorem of partition of unity and the convolution operator of low-pass filter.

研究动机与目标

• 为使用Q1-P0有限元的密度基拓扑优化中持续存在的棋盘图案问题提供解决方案。
• 为SIMP和BESO方法中的敏感性过滤建立理论依据。
• 将过滤技术与单位分解和低通滤波等既定数学概念联系起来。
• 通过消除虚假的数值伪影，确保优化设计的网格无关性。
• 为结构拓扑优化中广泛使用的启发式过滤实践提供严格的理论框架。

提出的方法

• 应用单位分解定理，以证明拓扑优化中过滤的数学有效性。
• 将过滤过程建模为与低通滤波器核的卷积运算。
• 使用Q1-P0单元进行有限元分析，以模拟SIMP和BESO中棋盘图案的形成。
• 分析过滤前后敏感性场的变化，以证明振荡图案的抑制效果。
• 证明过滤可将优化问题转化为更稳定、网格无关的形式。
• 建立过滤操作与正则化过程之间的等价性，该过程惩罚密度场中的高频变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在使用Q1-P0有限元时，SIMP和BESO拓扑优化中会出现棋盘图案？
• RQ2 敏感性过滤在消除棋盘图案方面有效的理论基础是什么？
• RQ3 基于卷积的过滤方法与单位分解数学概念有何关联？
• RQ4 能否严格证明过滤是一种实现拓扑优化中网格无关解的手段？
• RQ5 低通滤波器在稳定优化过程并抑制数值伪影方面起什么作用？

主要发现

• 棋盘图案的出现是由于在使用Q1-P0单元时，敏感性场缺乏空间正则化。
• 通过与低通滤波器核进行卷积来过滤敏感性信息，可有效抑制棋盘图案。
• 过滤的理论基础建立在单位分解定理之上，确保了数学一致性。
• 该过滤方法通过消除优化结果中与网格相关的数值伪影，确保了网格无关性。
• 该方法为SIMP和BESO方法中广泛使用的启发式过滤技术提供了严格的理论依据。
• 研究证实，过滤可将优化问题转化为更稳定的形式，与变分法原理及流体动力学类比相一致。