[论文解读] Cheeger-Colding-Tian theory for conic Kahler-Einstein metrics

Gang Tian, Feng Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文将Cheeger-Colding-Tian关于切锥与奇异层的理论扩展至具有可去交截面的Fano代数簇上的锥形Kähler-Einstein度量。通过将Cheeger-Colding的Gromov-Hausdorff极限论证方法适配到锥形奇点情形，本文建立了切锥的存在性与奇异性的分层结构，证明奇异集的Hausdorff维数至多为$2n-2$，且锥形角度由沿除子分量的锥形角度极限确定。

ABSTRACT

In this paper is to extend the Cheeger-Colding Theory to the class of conic Kahler-Einstein metrics. This extension provides a technical tool for [LTW] in which we prove a version of the Yau-Tian-Donaldson conjecture for Fano varieties with certain singularity.

研究动机与目标

• 将Cheeger-Colding-Tian关于切锥与奇异层的理论扩展至具有可去交截面的Fano代数簇上的锥形Kähler-Einstein度量设定。
• 在存在锥形奇点的情况下，证明此类度量的Gromov-Hausdorff极限空间中任意点处切锥的存在性。
• 证明极限空间中奇异集的分层结构，其Hausdorff维数至多为$2n-2$，推广经典Ricci曲率有界的黎曼流形结果。
• 以除子分量上原始锥形角度的极限来刻画切锥中的锥形角度。
• 为奇异Fano情形下的Yau-Tian-Donaldson猜想提供技术基础，尤其针对具有受控奇点的代数簇。

提出的方法

• 将Cheeger-Colding关于Ricci曲率有下界的黎曼流形Gromov-Hausdorff极限的方法，适配至锥形Kähler-Einstein设定。
• 使用一类具有奇点的黎曼流形，其奇点集$\mathcal{S}$的$n$维Hausdorff测度为零，且度量在正则部分$\mathcal{R}$上光滑。
• 在逼近过程中利用梯度的$L^2$-范数受控的截断函数$\gamma_\epsilon$来处理奇点集。
• 在环形区域中应用Bochner公式与调和逼近技术，以控制距离类函数的梯度。
• 利用锥形Kähler-Einstein度量的体积比较与曲率估计，控制极限几何结构。
• 在黎曼曲面上的圆丛上应用Stokes定理与holonomy论证，关联极限中的Euler示性数与锥形角度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Ricci曲率有下界的锥形Kähler-Einstein度量的Gromov-Hausdorff极限空间中，任意点处是否存在切锥？
• RQ2 极限空间中奇异集的分层结构如何？奇异层的Hausdorff维数最大可能值是多少？
• RQ3 切锥的锥形角度如何与原始锥形Kähler-Einstein度量的原始锥形角度相关？
• RQ4 Cheeger-Colding-Tian关于切锥与奇异层的理论能否推广至锥形Kähler-Einstein设定？
• RQ5 在Ricci曲率与体积有界且具有锥形奇点的条件下，极限空间的拓扑与几何结构如何？

主要发现

• 对于$\mathcal{M}(n,k,\delta,V)$中任意一列锥形Kähler-Einstein度量，其Gromov-Hausdorff极限空间$X$在每点处均存在切锥，且这些切锥为度量锥。
• 极限空间中的奇异集$\mathcal{S}$满足$\mathcal{S} = \mathcal{S}_{2n-2}$，且每个层$\mathcal{S}_k$的Hausdorff维数至多为$k$。
• 切锥$T_xX \cong \mathbb{C}_{\bar{\beta}} \times \mathbb{R}^{2n-2}$的锥形角度$1 - \bar{\beta}$由$1 - \bar{\beta} = \sum m_i (1 - \beta_\infty^i)$给出，其中$\beta_\infty^i$为原始锥形角度的极限。
• 此类度量的极限空间$X$属于类$\mathcal{M}(V, \pi\sqrt{(2n-1)/\delta}, 2n)$，确保了统一的几何控制。
• 通过在环形区域中使用梯度能量受控的截断函数进行调和逼近，建立了切锥的存在性。
• 锥形角度公式源自涉及黎曼曲面Euler示性数与奇异纤维上线丛曲率的拓扑论证。