[论文解读] Cheeger constant and algebraic entropy of linear groups

Emmanuel Breuillard, Tsachik Gelander|ArXiv.org|Jul 21, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了线性群的 Tits 交替性在统一形式下的版本，证明了 $\ mathrm{GL}_n(K)$ 中非几乎可解子群在统一有界字长内包含自由子群。通过在对称空间和 Bruhat-Tits 建筑物中运用几何与算术工具，作者推导出 Cayley 图的 Cheeger 常数与代数熵的统一下界，将结果推广至任意特征，并解决了增长与谱间隙中的统一性问题。

ABSTRACT

We prove a uniform version of the Tits alternative. As a consequence, we obtain uniform lower bounds for the Cheeger constant of Cayley grahs of finitely generated non virtually solvable linear groups in arbitrary characteristic. Also we show that the algebraic entropy of discrete subgroups of a given Lie group is uniformly bounded away from zero.

研究动机与目标

• 建立任意域上有限生成线性群的统一 Tits 交替性版本。
• 为非几乎可解线性群的 Cayley 图的 Cheeger 常数推导出统一的下界。
• 证明给定李群的离散子群的代数熵在统一意义下远离零。
• 将 Eskin-Mozes-Oh 关于统一指数增长的结果扩展至包含统一谱与几何不变量。
• 统一几何与算术方法，用于研究线性群中的增长与谱间隙问题。

提出的方法

• 使用 Borel–Harish-Chandra 定理，将一般情形约化为半单李群中的算术格。
• 应用对称空间与 Bruhat-Tits 建筑物的理论，分析群元素的动力学行为。
• 采用 $KAK$-分解与利普希茨估计，刻画收缩与非常逼近元素。
• 利用抽屉原理与算术复杂度界，寻找能分离吸引与排斥方向的共轭元素。
• 借助 Mostow 与 Landvogt 在 CAT(0) 空间中全测地嵌入的定理，将元素从李群提升至算术格。
• 通过几何分离与代数向量算术复杂度之间的相互作用，建立统一界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tits 交替性能否被强化为在非几乎可解线性群中寻找独立生成元所需字长的统一界？
• RQ2 任意域上线性群 Cayley 图的 Cheeger 常数的统一下界是什么？
• RQ3 固定李群的离散子群的代数熵在所有生成集下如何统一表现？
• RQ4 谱间隙（通过 Kazhdan 常数衡量）在多大程度上可被统一远离零？
• RQ5 能否利用对称空间与建筑中的几何方法，证明算术格中统一的增长与谱性质？

主要发现

• 所有有限生成的非几乎可解线性群在任意域上的独立直径 $d_\Gamma$ 均被统一有界。
• 为所有此类群的 Cayley 图建立了 Cheeger 常数 $h_\Gamma$ 的统一下界，且不依赖于生成集。
• 给定李群的离散子群的代数熵在统一意义下远离零，意味着统一指数增长。
• 对于非一致算术格，独立直径的统一界仅依赖于环境李群 $G$，而不依赖于格本身。
• 证明过程给出了 $\ ell^2$-Kazhdan 常数 $\kappa_\Gamma$ 的统一下界，确保了统一非阿民性。
• 乒乓对的构造依赖于算术复杂度与几何分离，其界取决于次数 $d$ 与维数 $n$。