[论文解读] Cheeger constants, growth and spectrum of locally tessellating planar graphs

Matthias Keller, Norbert Peyerimhoff|ArXiv.org|Mar 27, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用组合曲率，为局部密铺平面图的切赫常数建立了显式的下界，将局部几何性质与指数增长和谱隙等全局不变量联系起来。证明了严格正的顶点曲率或归一化曲率意味着正的切赫常数，其估计值精确依赖于顶点和面的度数约束，并通过树比较构造方法，将增长速率与谱性质关联起来。

ABSTRACT

In this article, we study relations between the local geometry of planar graphs (combinatorial curvature) and em global geometric invariants, namely the Cheeger constants and the exponential growth. We also discuss spectral applications.

研究动机与目标

• 将平面图中局部组合曲率与全局几何不变量（如切赫常数和指数增长）联系起来。
• 根据曲率和度数约束，推导出物理和几何切赫常数的显式下界。
• 证明严格正曲率意味着正的切赫常数，推广了离散的Bonnet-Myers定理与Cartan-Hadamard定理。
• 表明此类图的指数增长受比较树增长的下界限制，使用面展开构造方法。
• 通过切赫常数将曲率条件与谱性质联系起来，尤其针对拉普拉斯谱。

提出的方法

• 通过面和顶点的度数定义顶点和角点处的组合曲率，将无穷边形视为具有无穷度数。
• 引入两个切赫常数：α(G) 表示物理增长（边边界与顶点数之比），ḡα(G) 表示几何增长（边边界与体积之比）。
• 通过依赖于顶点和面度数约束 p 和 q 的常数 $ C_{p,q} $ 建立基于曲率的下界。
• 采用构造性方法，通过沿测地线射线切割，将有限面转换为无穷边形，从而构造出一个有界顶点度数的比较树 T。
• 证明原图的指数增长速率被比较树的增长速率所上界控制，且增长速率保持或增加。
• 应用树比较方法，推导出切赫常数的下界，并通过已知的切赫不等式将其与谱隙联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图上的局部曲率条件在多大程度上约束其全局切赫常数？
• RQ2 组合曲率与局部密铺平面图的指数增长之间存在何种关系？
• RQ3 能否仅通过顶点和面的度数约束及曲率下确界来对切赫常数进行下界估计？
• RQ4 有限面的结构如何影响平面图的增长与谱性质？
• RQ5 在具有相同度数约束的前提下，比较树在多大程度上能捕捉一般平面图的增长与谱行为？

主要发现

• 物理切赫常数满足 $ \alpha(G) \geq 2C_{p,q}C $，其中 $ C = \inf_v (-\kappa(v)) > 0 $，且 $ C_{p,q} $ 由度数约束定义。
• 几何切赫常数满足 $ \widetilde{\alpha}(G) \geq 2C_{p,q}c $，其中 $ c = \inf_v \left(-\frac{1}{|v|}\kappa(v)\right) > 0 $，在相同条件下成立。
• 在正则树的情况下，该下界是精确的（此时 $ q = \infty $），确认了极端情况下的最优性。
• 指数增长 $ \mu(G) $ 受 $ p $-正则树增长的上界控制，当曲率为非负且图本身为树时取等。
• 通过将有限面展开为无穷边形构造比较树的方法，保持或增加了增长速率，从而证明了对于 $ p $-有界树 $ T $，有 $ \mu(G) \leq \mu(T) $。
• 结果推广了离散的Bonnet-Myers定理与Cartan-Hadamard定理，表明正曲率意味着图是有限的，而非正曲率意味着不存在截曲面。