[论文解读] Cheeger's constant and the first eigenvalue of a closed Finsler manifold

Wei Zhao, Lixia Yuan|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文为闭Finsler流形上Shen非线性拉普拉斯算子的第一特征值建立了Cheeger型不等式与Buser型不等式，引入了一种新的Finsler型Cheeger常数，以考虑非可逆度量导致的非对称面积测度。关键结果是以Cheeger常数和可逆性常数表示第一特征值的下界，将Yau的估计推广至Finsler几何，并在Ricci曲率有界条件下建立了谱几何联系。

ABSTRACT

In this paper, we consider Cheeger's constant and the first eigenvalue of the nonlinear Laplacian on closed Finsler manifolds. Being based on these, we establish Cheeger's inequality and Buser's inequality for closed Finsler manifolds.

研究动机与目标

• 将Cheeger与Buser不等式从Riemann几何推广至Finsler几何，适用于通过Shen能量泛函定义的非线性拉普拉斯算子。
• 定义一种新的Finsler型Cheeger常数，通过同时使用外法向与内法向面积来反映度量的非对称性。
• 以Cheeger常数与可逆性常数λF表示第一特征值的下界，将Yau的估计推广至Finsler流形。
• 在Ricci曲率与一致常数有界条件下，建立第一特征值的Buser型上界，适用于Busemann-Hausdorff与Holmes-Thompson测度。
• 证明在Berwald度量下，S-曲率在两种测度下均消失，从而可获得更精确的谱估计。

提出的方法

• 将Finsler型Cheeger常数h(M)定义为：对所有分隔超曲面Γ，取min{A±(Γ)} / min{μ(D1), μ(D2)}的下确界，其中A±(Γ)分别为外法向与内法向诱导的面积。
• 利用第一特征值的变分刻画：λ1(M) = inf ∫F*²(df) dμ / ∫|f|² dμ，其中函数f的平均值为零。
• 在可逆性λF ≤ λ的假设下，建立Cheeger型不等式λ1(M) ≥ h²(M)/(4λ²)。
• 在Ricci曲率Ric ≥ -(n−1)δ²与一致常数ΛF ≤ Λ的条件下，证明Buser型不等式λ1(M) ≤ C(n,Λ)(δh(M) + h²(M))。
• 运用比较几何技巧与Finsler流形中的体积增长估计，通过Cheeger常数控制第一特征值。
• 利用Berwald度量下S-曲率在Busemann-Hausdorff与Holmes-Thompson测度下均消失的性质，简化谱估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为闭Finsler流形上Shen拉普拉斯算子的第一特征值建立考虑度量非对称性的Cheeger型不等式？
• RQ2 在非Riemann型Finsler几何中，第一特征值与Cheeger常数之间有何关系，尤其当度量不可逆时？
• RQ3 在Ricci曲率与一致常数有界条件下，能否在Finsler几何中导出第一特征值的Buser型上界？
• RQ4 Berwald度量下S-曲率的消失是否导致第一特征值谱估计的改进？
• RQ5 能否通过直径、体积与曲率等几何不变量，将Yau对第一特征值的下界估计推广至Finsler流形？

主要发现

• 对于可逆性λF ≤ λ的闭Finsler流形，Cheeger型不等式λ1(M) ≥ h²(M)/(4λ²)成立，推广了Riemann情形。
• 在Ricci曲率Ric ≥ -(n−1)δ²与一致常数ΛF ≤ Λ的条件下，建立了Buser型不等式λ1(M) ≤ C(n,Λ)(δh(M) + h²(M))。
• 对于Randers度量F = α + β，一致常数满足ΛF = (1+b)²/(1−b)²，其中b = sup‖β‖α，因此有λ1(M) ≤ C(n,b)(δh(M) + h²(M))。
• 在Busemann-Hausdorff与Holmes-Thompson测度下，Berwald度量的S-曲率为零，意味着谱控制更优。
• 闭Finsler流形的第一特征值可由直径、体积、一致常数与Ricci曲率下界控制，从而推广了Yau的估计。
• 对于满足Ric ≥ -(n−1)δ²与λF ≤ λ的Berwald流形，第一特征值满足λ1(M) ≤ C(n,λ)(δh(M) + h²(M))，且不依赖于S-曲率。