[论文解读] Chen-Ruan cohomology of ADE singularities

Fabio Perroni|ArXiv.org|May 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文研究了具有横截性 ADE 奇点的轨道空间的阮上同调型创世解析猜想，计算了 A_n 奇点的陈-阮上同调与量子修正上同调。在 A₁ 情况下，证明了在 q = -1 时陈-阮上同调与量子修正上同调之间存在显式同构；在 A₂ 情况下提出了并验证了一个修正后的猜想，解决了原始猜想在 q₁ = … = qₙ = -1 处的失效问题。

ABSTRACT

We study Ruan's extit{cohomological crepant resolution conjecture} for orbifolds with transversal ADE singularities. In the $A_n$-case we compute both the Chen-Ruan cohomology ring $H^*_{ m CR}([Y])$ and the quantum corrected cohomology ring $H^*(Z)(q_1,...,q_n)$. The former is achieved in general, the later up to some additional, technical assumptions. We construct an explicit isomorphism between $H^*_{ m CR}([Y])$ and $H^*(Z)(-1)$ in the $A_1$-case, verifying Ruan's conjecture. In the $A_n$-case, the family $H^*(Z)(q_1,...,q_n)$ is not defined for $q_1=...=q_n=-1$. This implies that the conjecture should be slightly modified. We propose a new conjecture in the $A_n$-case which we prove in the $A_2$-case by constructing an explicit isomorphism.

研究动机与目标

• 验证具有横截性 ADE 奇点的轨道空间的阮上同调型创世解析猜想。
• 在完全一般的情形下计算 A_n 奇点的陈-阮上同调环。
• 在技术假设下（特别是 A_n 情况下）计算量子修正上同调环。
• 识别原始猜想在 A_n 情况下 q₁ = … = qₙ = -1 处的失效，并提出修正版本。
• 通过陈-阮上同调环与上同调环之间的显式同构，在 A₂ 情况下证明修正后的猜想。

提出的方法

• 使用扭扇区与群作用数据，计算具有横截性 ADE 奇点的轨道空间的陈-阮上同调环 H*_{CR}([Y])。
• 构造粗模空间 Y 的创世解析解析 Z，并通过解析的几何性质描述 H*(Z)。
• 提出一个关于 Z 中有理曲线的 Gromov-Witten 不变量的猜想（Conj. 5.1），以定义量子修正上同调环 H*(Z)(q₁,…,qₙ)。
• 利用形变理论与障碍理论，计算稳定映射到 Z 的模空间的虚拟基本类。
• 应用 Aspinwall-Morrison 公式与庞加莱对偶性，评估三阶函数并计算量子修正。
• 通过经典 McKay 对应关系，在 A₁ 与 A₂ 情况下构造 H*_{CR}([Y]) 与 H*(Z)(-1) 之间的显式同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 阮的上同调型创世解析猜想是否对具有横截性 ADE 奇点的轨道空间成立？
• RQ2 为何原始猜想在 A_n 情况下 q₁ = … = qₙ = -1 处失效，应如何修正？
• RQ3 是否能在 A₁ 与 A₂ 情况下构造陈-阮上同调与量子修正上同调之间的显式同构？
• RQ4 A_n 奇点的量子修正上同调环 H*(Z)(q₁,…,qₙ) 的结构是什么？
• RQ5 在 A_n 设置下，用于量子修正的 Gromov-Witten 不变量是否可计算，且在何种假设下？

主要发现

• 在 A₁ 情况下，构造了陈-阮上同调环 H*_{CR}([Y]) 与量子修正上同调环 H*(Z)(-1) 之间的显式同构，验证了阮的猜想。
• 原始猜想在 A_n 情况下（n ≥ 2）失效，因为无法在 q₁ = … = qₙ = -1 处评估量子修正的三阶函数。
• 为 A_n 情况提出了一个修正猜想（Conj. 1.9），以解释在 q = -1 处的失效。
• 通过在 A₂ 情况下构造 H*_{CR}([Y]) 与 H*(Z)(-1) 之间的显式同构，证明了修正猜想。
• 通过形变理论与障碍理论计算了用于量子修正的 Gromov-Witten 不变量，其中关键作用来自典范线丛的第一陈类。
• 在修正猜想下，当量子参数设为 -1 时，量子修正上同调环的结构被证明与陈-阮上同调环同构。