[论文解读] Chen--Ruan cohomology of some moduli spaces

Indranil Biswas, Mainak Poddar|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文计算了在亏格 g ≥ 2 的紧黎曼曲面上，具有非平凡第二Stiefel–Whitney类的稳定 PSL(2,ℂ)-丛模空间的 Chen–Ruan 上同调环。利用轨道丛上同调理论和轨道丛 Gromov–Witten 型相关函数，作者通过秩-2丛模空间上 Γ-作用的固定点贡献推导出该环结构。

ABSTRACT

Let X be a compact connected Riemann surface of genus at least two. We compute the Chen--Ruan cohomology ring of the moduli space of stable PSL(2, C)--bundles of nontrivial second Stiefel--Whitney class over X.

研究动机与目标

• 计算轨道丛 ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ 的 Chen–Ruan 上同调环，其中 $\Gamma$ 是 $\text{Pic}^0(X)$ 的 2-挠子群。
• 理解通过秩-2稳定丛固定行列式对 $\Gamma$-商得到的稳定 $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$-丛模空间的轨道丛上同调结构。
• 利用相关函数与障碍丛秩，特别是涉及固定点子簇 $\mathcal{S}(L)$ 的情形，确定 Chen–Ruan 上同调的环结构。
• 建立 Chen–Ruan 乘积在不同情形下的行为：当类来自相同或不同扭扇区，且交集平凡或有限时。

提出的方法

• 定义在亏格 $g \geq 2$ 的黎曼曲面 $X$ 上，固定行列式 $\xi$（度数为 1）的稳定秩-2丛模空间 ${\mathcal{M}}_{\xi}$。
• 通过张量乘以满足 $L^{igotimes 2} \cong \mathcal{O}_X$ 的线丛 $L$，引入 $\Gamma = \text{Pic}^0(X)_2$（雅可比的 2-挠子群）的作用。
• 构造轨道丛商 ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$，其参数化具有非平凡 $w_2$ 的稳定 $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$-丛。
• 通过直和分解定义 Chen–Ruan 上同调：$H_{CR}^*({\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma,\mathbb{Q}) = H^*({\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma,\mathbb{Q}) \oplus \bigoplus_{L \neq \mathcal{O}_X} H^{*-2\iota(L)}(\mathcal{S}(L)/\Gamma,\mathbb{Q})$，其中 $\mathcal{S}(L)$ 为 $L$ 的固定点集。
• 利用三点相关函数定义环结构，其虚拟类与障碍丛的秩由几何与拓扑数据计算得出。
• 基于固定点集 $\mathcal{S}(L_1) \cap \mathcal{S}(L_2)$ 的交集情况（空集、点或有限群作用）分析四种情形，导出不同的乘积规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非平凡 $w_2$ 的 $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$-丛，轨道丛 ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ 的 Chen–Ruan 上同调环结构是什么？
• RQ2 由 $\Gamma$-作用产生的扭扇区如何通过固定点子簇 $\mathcal{S}(L)$ 对 Chen–Ruan 上同调产生贡献？
• RQ3 当固定点集 $\mathcal{S}(L_1)$ 与 $\mathcal{S}(L_2)$ 的交集平凡或非平凡时，Chen–Ruan 乘积的行为如何？
• RQ4 环结构如何依赖于上同调的上度类与模空间的陈类 $\kappa$？
• RQ5 归一化的上度类 $\Omega$ 及其积分 $v = \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma} \kappa^{3(g-1)}$ 在确定乘积结构中起什么作用？

主要发现

• Chen–Ruan 上同调环 ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ 的计算结果为未扭扇区与扭扇区的直和，其中非平凡 $L \in \Gamma$ 的固定点集 $\mathcal{S}(L)$ 有贡献。
• 对于 $L \neq \mathcal{O}_X$，扭扇区上同调 $H^{*-2\iota(L)}(\mathcal{S}(L)/\Gamma,\mathbb{Q})$ 对环结构有贡献，其中 $\iota(L)$ 由 $d\phi_L$ 在切空间上的特征值决定。
• 在情形 (b) 中，Chen–Ruan 乘积满足 $\alpha_1 \cup \alpha_2 = \alpha_1 \wedge f^*\alpha_2$，其中 $f^*\alpha_2 = 0$，除非 $\alpha_2$ 是 $\kappa$ 的幂的倍数。
• 在情形 (c) 中，乘积为 $\alpha_1 \cup \alpha_2 = f^*\alpha_1 \wedge \alpha_2$，具有类似的消失条件。
• 在情形 (d) 中，当 $\mu(\omega(L_1) \otimes \omega(L_2)) = 1$ 时，若 $\alpha_i \in A^{2g-2}(L_i)$，则 $\alpha_1 \cup \alpha_2 = \frac{1}{4} \alpha_1 \alpha_2 \Omega'$，否则为零，其中 $\Omega'$ 是 $\mathcal{S}(L_1 \otimes L_2)/\Gamma$ 上的归一化上度类。
• 归一化常数 $v = \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma} \kappa^{3(g-1)}$ 与积分 $\int_{{\mathcal{M}}_{\xi}} H([X])^{3g-3}$ 相关，关系为 $v = \frac{1}{2^{2g}} \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}} H([X])^{3g-3}$，后者通过伯努利数与组合因子计算得出。