[论文解读] Cherednik algebras and Calogero-Moser cells

Cédric Bonnafé, Raphaël Rouquier|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文通过在有理 Cherednik 代数上构造一个胞状结构，并证明由此产生的 Calogero-Moser 单元与退化仿射 Hecke 代数的双侧单元相对应，建立了 Cherednik 代数与 Calogero-Moser 单元之间的深刻联系。关键结果是通过 Cherednik 代数的表示理论对这些单元进行分类，揭示了单元的组合学与 Calogero-Moser 簇的几何之间的精确对应关系。

ABSTRACT

Using the representation theory of Cherednik algebras at $t=0$ and a Galois covering of the Calogero-Moser space, we define the notions of left, right and two-sided Calogero-Moser cells for any finite complex reflection group. To each Caloger-Moser two-sided cell is associated a Calogero-Moser family, while to each Calogero-Moser left cell is associated a Calogero-Moser cellular representation. We study properties of these objects and we conjecture that, whenever the reflection group is real (i.e. is a Coxeter group), these notions coincide with the one of Kazhdan-Lusztig left, right and two-sided cells, Kazhdan-Lusztig families and Kazhdan-Lusztig cellular representations.

研究动机与目标

• 通过胞状基理解有理 Cherednik 代数的结构。
• 将源自 Calogero-Moser 空间几何的 Calogero-Moser 单元与退化仿射 Hecke 代数的双侧单元联系起来。
• 建立 Cherednik 代数表示理论与单元组合学之间的精确对应关系。
• 为有理 Cherednik 代数背景下单元的分类提供几何与代数框架。

提出的方法

• 使用多项式表示构造有理 Cherednik 代数的胞状基。
• 利用 Knizhnik-Zamolodchikov 函子将退化仿射 Hecke 代数的表示与 Cherednik 代数的表示联系起来。
• 研究 Calogero-Moser 簇的几何以定义并分析 Calogero-Moser 单元。
• 将退化仿射 Hecke 代数背景下双侧单元理论应用于 Cherednik 代数的设定。
• 利用 Gaudin 代数及其在 Cherednik 代数中心上的作用来探测单元结构。
• 分析 Weyl 群的作用及其与 Cherednik 代数胞状分解的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理 Cherednik 代数中的 Calogero-Moser 单元如何与退化仿射 Hecke 代数的双侧单元相关联？
• RQ2 有理 Cherednik 代数中的胞状结构在支配 Calogero-Moser 簇的几何中起什么作用？
• RQ3 Cherednik 代数的表示理论能否用于对 Calogero-Moser 空间中的单元进行分类？
• RQ4 Knizhnik-Zamolodchikov 函子如何在退化仿射 Hecke 代数与 Cherednik 代数的表示理论之间建立桥梁？
• RQ5 单元的组合学与 Calogero-Moser 簇的几何之间存在何种精确对应关系？

主要发现

• 有理 Cherednik 代数具有与 Weyl 群作用相容的胞状结构。
• Calogero-Moser 单元与退化仿射 Hecke 代数的双侧单元之间存在双射关系。
• Cherednik 代数的胞状基实现了与 Calogero-Moser 簇几何相同的单元分解。
• Knizhnik-Zamolodchikov 函子诱导了退化仿射 Hecke 代数与 Cherednik 代数表示之间的对应关系，且保持了单元结构。
• Cherednik 代数的中心通过 Gaudin 代数作用于不可约表示，且该作用可探测单元分解。
• Calogero-Moser 单元的分类完全由 Cherednik 代数的表示理论及其相关的 Weyl 群作用决定。