[论文解读] Cherednik algebras for algebraic curves

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文通过量子哈密顿约化，构造了代数曲线的全局谢雷丁尼克代数，建立了从Quot概形积上的特征D-模到谢雷丁尼克代数O类的函子。关键结果是球面三角函数谢雷丁尼克代数的有限维不可约模与具有幂零奇点支撑的简单特征D-模之间的一一对应关系，将卢茨蒂格的特征层在全局几何设定下进行了推广。

ABSTRACT

For any smooth algebraic curve C, Pavel Etingof introduced a `global' Cherednik algebra as a natural deformation of the cross product of the algebra of differential operators on C^n and the symmetric group. We provide a construction of the global Cherednik algebra in terms of quantumn Hamiltonian reduction. We study a category of character D-modules on a representation scheme associated to C and define a Hamiltonian reduction functor from that category to category O for the global Cherednik algebra. In the special case where the curve C is the multiplicative group, the global Cherednik algebra reduces to the trigonometric Cherednik algebra of type A, and our character D-modules become holonomic D-modules on GL_n imes C^n. The corresponding perverse sheaves are reminiscent of (and include as special cases) Lusztig's character sheaves.

研究动机与目标

• 通过量子哈密顿约化构造与代数曲线相关的全局谢雷丁尼克代数。
• 在Quot概形积上定义并研究具有幂零奇点支撑的特征D-模，推广卢茨蒂格的特征层。
• 建立球面三角函数谢雷丁尼克代数的有限维不可约模与 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上简单特征D-模之间的一一对应关系。
• 利用代数曲线和表示概形，将特征层理论推广到全局设定。

提出的方法

• 全局谢雷丁尼克代数 $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$ 被构造为 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上扭曲微分算子层的量子哈密顿约化。
• 定义了一个从 $\mathscr{D}_{n\kappa,\psi}(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$-模范畴到 $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$-模范畴的哈密顿约化函子 $\mathbb{H}$。
• 特征D-模被定义为奇点支撑包含于全局幂零拉格朗日子簇 $\mathbb{M}_{\text{nil}} \subset T^*(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$ 中的 $\mathscr{D}$-模。
• 利用 $GL_n$ 在 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上的作用（仅有有限个轨道）来分析单值性与奇点支撑。
• 通过黎曼-希尔伯特对应关系以及 $GL_n$-轨道上局部系统最小扩张的性质，建立了模之间的对应关系。
• 证明依赖于唯一开 $GL_n$-轨道 $\mathbb{O}_0$ 的基本群为 $\mathbb{Z}$，且单值性条件强制不可约性要求为单位根的本原根。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过量子哈密顿约化构造代数曲线的全局谢雷丁尼克代数？
• RQ2 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上具有幂零奇点支撑的特征D-模的几何与表示论意义是什么？
• RQ3 这些特征D-模如何与球面三角函数谢雷丁尼克代数的有限维表示相关联？
• RQ4 这些模在多大程度上推广了卢茨蒂格在全局几何设定下的特征层？
• RQ5 在何种条件下，哈密顿约化函子会输出有限维模？

主要发现

• 球面谢雷丁尼克代数 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$ 被实现为哈密顿约化函子作用于 $SL_n \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上特征D-模的结果。
• 有限维不可约 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-模精确对应于形如 $z \mathcal{L}_{p,c}$ 的简单特征 $\mathscr{D}$-模，其中 $n \mid (c - p)$ 且 $c$ 与 $n$ 互素。
• 特征 $\mathscr{D}$-模的奇点支撑包含于拉格朗日子簇 $\mathbb{M}_{\text{nil}}$ 中，该子簇由 $\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n$ 中的幂零锥在 $GL_n$-作用下的像所生成。
• 在 $SL_n \times V^\circ$ 的开轨道 $\mathbb{O}_0 \subset SL_n \times V^\circ$ 上，$GL_n$-单值性局部系统的最小扩张是特征 $\mathscr{D}$-模，当且仅当单值性为本原 $n$ 次单位根。
• 哈密顿约化函子 $\mathbb{H}$ 是正合的，并在 $\kappa = c/n$ 时，诱导出有限维不可约 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-模与满足 $n \mid (c - p)$ 且 $\gcd(c,n) = 1$ 的简单特征 $\mathscr{D}$-模之间的一一对应。
• 该对应关系与黎曼-希尔伯特对应关系相容，因此与特征 $\mathscr{D}$-模相关的 perverse 丛在 $GL_n$-对角轨道上局部常数，且具有幂零特征簇。