[论文解读] Chern characters in equivariant basic cohomology

Wenran Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文为具有李群作用的黎曼叶状丛发展了等变基本上同调中的陈类理论，通过主丛与联络实现了等变基本陈类的几何实现。证明了基本Dirac算子的等变基本陈类可被实现为在基本流形上通过标准构造得到的等变主丛的陈类，将Atiyah-Singer指标理论推广至具有群作用的叶状丛情形。

ABSTRACT

From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold. The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold. The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.

研究动机与目标

• 将Atiyah-Singer指标理论推广至具有群作用的黎曼叶状丛，通过为横截椭圆算子的基本指标建立上同调公式。
• 在具有李群作用的黎曼叶状丛背景下，定义并研究等变基本上同调与陈类。
• 通过主丛与基本联络，构造等变基本陈类的几何实现。
• 建立Molino层、holonomy胚丛与叶状丛中不变结构存在性之间的联系。
• 将等变陈类理论推广至保持叶状结构与黎曼度量的叶状流形的基本上同调。

提出的方法

• 使用$\frak{g}$-微分代数与$\frak{g}$-等变基本上同调框架，定义等变基本陈类。
• 应用Molino层理论与黎曼叶状丛的holonomy胚丛理论，分析基本微分形式的结构。
• 利用holonomy胚丛与在标架丛上的作用提升，构造基本流形$W$上的主$SO(q)$-丛$\tilde{W} \to W$。
• 在$\tilde{W}$上构造一个在李代数$\tilde{\frak{a}}$的提升作用下不变的基本联络$\nabla^{\tilde{W}}$。
• 通过Chern-Weil同态，将$\tilde{W}$上基本联络的曲率关联到特征类，从而实现等变基本陈类的几何实现。
• 依赖附录中建立的结论：基本联络的存在性等价于叶状丛上黎曼度量的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何实现黎曼叶状丛上横截椭圆算子的等变基本陈类的几何实现？
• RQ2 在基本流形上的主丛上，何种条件可保证$\tilde{\frak{a}}$-不变基本联络的存在性？
• RQ3 Molino层与holonomy胚丛如何影响等变基本上同调的结构？
• RQ4 基本向量丛的陈类能否被实现为具有等变结构的主丛的陈类？
• RQ5 叶状流形的等变基本上同调与在提升群作用下基本流形的上同调之间存在何种关系？

主要发现

• 基本流形$\widetilde{M}$上的基本向量丛$\widetilde{E}$的等变基本陈类${\mathrm{Ch}}_{\tilde{\frak{a}} \times so(q)}(\widetilde{E},{\mathcal{F}}_{\widetilde{E}})$被实现为在$W$上通过标准构造得到的$\tilde{\frak{a}} \times SO(q)$-等变主丛的陈类。
• 附录C中已证明，主丛$\widetilde{W} \to W$上基本联络的存在性等价于叶状丛上黎曼度量的存在性。
• $\widetilde{W}$上的基本联络$\nabla^{\widetilde{W}}$是$\tilde{\frak{a}}$-不变的，确保与群作用兼容，从而支持等变特征类的构造。
• 通过在提升主丛上的Chern-Weil构造，计算了基本Dirac算子的陈类，从而为基本指标提供了上同调公式。
• 该理论通过$\widetilde{W}$上基本联络的曲率，建立了等变基本陈类的几何实现，将拓扑不变量与几何数据联系起来。
• 本文证明，叶状流形上以Molino层为系数的基本上同调捕捉了等变结构的关键信息，从而支持了所需特征类的构造。