[论文解读] Chern class formulas for $G_2$ Schubert loci

Dave Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通过利用三线性型和迷向旗，为具有 $G_2$ 结构群的向量丛定义退化点簇，建立了 $G_2$ 标志丛中 Schubert 丛的陈类公式。它给出了以丛的陈类表示的显式上同调公式，证明了 Chow 环的整数表示，并解决了 W. Graham 关于一个上同调类整性的疑问，同时纠正了 [Ed-Gr] 中关于二次曲面丛 Chow 环计算的错误。

ABSTRACT

We define degeneracy loci for vector bundles with structure group $G_2$, and give formulas for their cohomology (or Chow) classes in terms of the Chern classes of the bundles involved. When the base is a point, such formulas are part of the theory for rational homogeneous spaces developed by Bernstein-Gelfand-Gelfand and Demazure. This has been extended to the setting of general algebraic geometry by Giambelli-Thom-Porteous, Kempf-Laksov, and Fulton in classical types; the present work carries out the analogous program in type $G_2$. We include explicit descriptions of the $G_2$ flag variety and its Schubert varieties, and several computations, including one that answers a question of W. Graham. In appendices, we collect some facts from representation theory and compute the Chow rings of quadric bundles, clarifying a previous computation of Edidin and Graham.

研究动机与目标

• 将退化点簇理论从经典类型（A、B、C、D）推广至例外李型 $G_2$。
• 通过非退化三线性型下与迷向旗的关联条件，定义 $G_2$ 标志丛中的 Schubert 割痕。
• 以所涉丛的陈类为变量，推导这些 Schubert 丛的显式上同调（Chow）类公式。
• 解决 W. Graham 提出的关于 $G_2$ 几何中一个有理上同调类整性的疑问。
• 纠正 [Ed-Gr] 中关于二次曲面丛 Chow 环计算的错误，并提供完整的表示。

提出的方法

• 通过非退化交错三线性型 $\gamma: \bigwedge^3 V \to L$，为秩 7 向量丛定义 $G_2$-结构。
• 引入 $\gamma$-迷向子丛，并利用它们通过旗的交集维数条件，将 Schubert 丛 $D_w$ 定义为退化点簇。
• 利用八元数几何与相容型式，构造 $G_2$ 标志流形及其 Schubert 子流形，提供新的显式描述。
• 使用差分算子与等变上同调技巧，推导 Schubert 类的陈类公式。
• 证明标志丛上 Chow 环的整数表示，包括整系数情形。
• 通过法丛序列与陈类恒等式，计算 $c_n(N_{\mathbb{P}(F)/\mathcal{Q}})$，纠正 [Ed-Gr] 中关于二次曲面丛 Chow 环的错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 退化点簇公式如何从经典李型推广至例外型 $G_2$？
• RQ2 在基流形 $X$ 上，$G_2$ 标志丛的整数 Chow 环的正确表示是什么？
• RQ3 W. Graham 所提的有理上同调类是否确实为整数类？若是，原因为何？
• RQ4 从迷向旗与三线性型的角度，$G_2$ 标志流形及其 Schubert 子簇的精确结构是什么？
• RQ5 [Ed-Gr] 中关于二次曲面丛 Chow 环计算需作何修正？

主要发现

• 本文给出了 $G_2$ 标志丛中 Schubert 丛的显式陈类公式，其形式为丛 $E_q/E_{q-1}$ 与 $F_p/F_{p-1}$ 的陈类的多项式。
• 证明了在 $X$ 上的 $G_2$ 标志丛的 Chow 环具有整数表示，解决了该理论中的一个关键问题。
• W. Graham 所提的有理上同调类被证明为整数类，其校正源于 $A^1X$ 中的 $2$-挠类 $\tau = c_1(F^\perp / F)$。
• 对 [Ed-Gr] 的校正成立：在二次曲面丛的 Chow 环中，关系式 $h^n = 2f + \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} c_k(F) h^{n-k}$ 成立，其中 $f$ 为纤维类，$h$ 为超平面类。
• 导出公式 $a_k = -c_k(V/F^\perp) = (-1)^{k+1} c_k(F)$，确认了校正项的整性。
• 本文利用八元数与相容型式，构建了 $G_2$ 标志流形的新几何模型，为其中 Schubert 子流形提供了新颖的描述。