[论文解读] Chern classes and Gromov--Witten theory of projective bundles

Honglu Fan|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文证明了光滑射影簇 $S$ 上的向量丛 $V$ 的射影丛 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov–Witten 理论，完全由基空间 $S$ 的 Gromov–Witten 不变量和向量丛 $V$ 的总陈类 $c(V)$ 决定。通过将 $V$ 紧化为 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 构造主空间，并应用虚拟局部化，作者推导出一个通用公式，可从 $S$ 和 $c(V)$ 的不变量计算 $\mathbb{P}(V)$ 的所有不变量，从而解决了 Gromov–Witten 理论中长期存在的一个问题。

ABSTRACT

We prove that the Gromov--Witten theory (GWT) of a projective bundle can be determined by the Chern classes and the GWT of the base. It completely answers a question raised in a previous paper (arXiv:1607.00740). Its consequences include that the GWT of the blow-up of X at a smooth subvariety Z is uniquely determined by GWT of X, Z plus some topological data.

研究动机与目标

• 解决先前工作中提出的问题：射影丛 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov–Witten 不变量是否由基空间 $S$ 的不变量和总陈类 $c(V)$ 唯一确定。
• 开发一种通用方法，用于计算 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov–Witten 不变量，而无需假设 $V$ 可分解或具有 torus 作用。
• 将结果应用于改进 Gromov–Witten 理论中的爆破公式，消除对例外除子不变量的冗余数据要求。
• 建立 Gromov–Witten 理论在射影丛构造下的函子性通用原则。

提出的方法

• 通过将向量丛 $V$ 紧化为 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$，构造主空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O}), \beta)$，以支持 $\mathbb{C}^*$-作用。
• 对稳定映射到 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 的模空间应用虚拟局部化，对低于虚拟维数的上同调类进行积分，从而建立 $S$ 和 $\mathbb{P}(V)$ 的不变量之间的关系。
• 利用所得关系，递归地从 $S$ 的不变量和 $V$ 的陈类中确定 $\mathbb{P}(V)$ 的所有 Gromov–Witten 不变量。
• 定义自然同构 $\mathfrak{F}$ 和 $\Psi$，在 $c(V_1) = c(V_2)$ 时，识别 $\mathbb{P}(V_1)$ 和 $\mathbb{P}(V_2)$ 的上同调群与曲线类群，确保在陈类等价下的不变性。
• 利用退化公式和法丛的形变，将结果推广至爆破情形，证明 $\tilde{Y}$ 的不变量由 $Y$、$Z$ 和 $c(N_{Z/Y})$ 的不变量唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影丛 $\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov–Witten 理论是否可由基空间 $S$ 的不变量和总陈类 $c(V)$ 唯一确定？
• RQ2 当向量丛不可分解时，Gromov–Witten 不变量在陈类等价下是否在所有亏格中保持不变？
• RQ3 Gromov–Witten 理论中的爆破公式能否被改进，以消除对例外除子不变量输入数据的需求？
• RQ4 是否存在 Gromov–Witten 理论在射影丛构造下函子性的通用原则？

主要发现

• 无论 $V$ 的分解类型如何，$\mathbb{P}(V)$ 的 Gromov–Witten 不变量完全由基空间 $S$ 的 Gromov–Witten 不变量和总陈类 $c(V)$ 决定。
• 当 $c(V_1) = c(V_2)$ 时，通过上同调和曲线类群上的自然同构 $\mathfrak{F}$ 和 $\Psi$，$\mathbb{P}(V_1)$ 和 $\mathbb{P}(V_2)$ 的 Gromov–Witten 不变量是同构的。
• 该结果表明，$Y$ 沿光滑子簇 $Z$ 的爆破 $\tilde{Y}$ 的 Gromov–Witten 理论仅由 $Y$ 和 $Z$ 的不变量，以及 $c_i(N_{Z/Y})$ 及其上同调拉回结构决定。
• 先前爆破公式中对 $\mathbb{P}(N_{Z/Y} \oplus \mathcal{O})$ 的不变量输入要求是冗余的，因为这些现在可由 $c(N_{Z/Y})$ 和 $Z$ 的不变量唯一确定。
• 通过主空间 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 和虚拟局部化的该方法，可在不依赖等变局部化或分解假设的前提下，实现不变量的统一计算。