[论文解读] Chern classes for representations of reductive groups

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了半单群 G 的有理分次表示环与其中心李代数上不变多项式函数环之间的典范同构，表明表示的示性类对应于 1 + Lρ 的行列式，而示性特征则对应于 exp(Lρ) 的迹，从而提供了一种纯粹代数的、无需上同调的方法，通过不变多项式计算相关向量丛的示性类。

ABSTRACT

Let G be a complex connected reductive group. The representation ring R(G) admits a canonical filtration defined in terms of the lambda-structure. We compute the associated graded ring gr R(G) (over Q) and the Chern classes of a representation -- an easy exercise which we have been unable to find in the literature. As an application we give a simple definition of the characteristic classes of a principal bundle P --> B in gr K(B), and a simple way of computing the Chern classes of the associated vector bundles.

研究动机与目标

• 为半单群表示提供一种纯粹代数的、无需上同调的示性类定义。
• 建立有理分次表示环 R(G) 与李代数 g 上不变多项式函数环之间的典范同构。
• 证明表示的示性类与示性特征分别由 det(1 + Lρ) 与 Tr(exp(Lρ)) 给出，其中 Lρ 为李代数表示。
• 将结果应用于主 G-丛，定义基空间分次 K-理论中的示性类。

提出的方法

• 使用表示环 R(G) 上的 λ-环结构，其中 λ-运算由表示的外幂诱导。
• 应用格罗滕迪克的 γ-滤子及通过 γp(x − ε(x)) 构造示性类的关联分次环。
• 利用当极大环 T 时 R(T) 为分裂 λ-环的事实，使 γ-滤子的显式计算成为可能。
• 证明 R(G) 上的 γ-滤子由 Weyl 群不变性及 Adams 作用在 γ-滤子下的行为，从 R(T) 上诱导而来。
• 利用限制到 Cartan 子代数 h 所诱导的 Pol(g)^inv 与分次表示环之间的同构。
• 对以 B 为底空间的主 G-丛 P，应用特征同态 c_P: Pol(g)^inv → gr_Q K(B)，将不变多项式映射到 B 的分次 K-理论中的示性类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖上同调或查沃环的前提下，为半单群表示定义示性类？
• RQ2 半单群 G 的分次表示环 gr_Q R(G) 的精确代数结构是什么？
• RQ3 表示 ρ ∈ R(G) 的示性类与示性特征如何与李代数表示 Lρ 相关联？
• RQ4 能否从李代数上的不变多项式代数地计算相关向量丛的示性类？
• RQ5 主 G-丛 P 的示性类与相关向量丛 P^ρ 的示性类之间有何关系？

主要发现

• 有理分次表示环 gr_Q R(G) 与李代数上不变多项式函数环 Pol(g)^inv 之间存在典范同构。
• 表示 ρ 的总示性类 c(ρ) 作为 g 上的不变多项式，等于 det(1 + Lρ)。
• 示性特征 ch(ρ) 在 g 上不变多项式函数环中等于 Tr(exp(Lρ))。
• 对于以 B 为底空间的主 G-丛 P，gr_Q K(B) 中的示性类 c_P^{(i)} 通过在李代数表示上求值不变多项式 I_i 得到。
• 相关向量丛 P^ρ 的总示性类为 F(c_P^{(1)}, ..., c_P^{(ℓ)})，其中 F 是满足 det(1 + Lρ) = F(I_1, ..., I_ℓ) 的多项式。
• 对于正交群与辛群，示性类 c_P^{(p)} 对应于 c_{2p}(E_P)，而对于 SO(2ℓ)，最后一个类 c_P^{(ℓ)} 满足 (c_P^{(ℓ)})^2 = c_{2ℓ}(E_P)。