[论文解读] Chern classes of Gauß-Manin bundles of weight 1 vanish

Hélène Esnault, Eckart Viehweg|ArXiv.org|Jan 7, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文证明了在具有幂零单值的阿贝尔簇族中，权1的Gauss-Manin丛的Deligne扩张的Chern示性类在有理Chow环中除0维外全部消失。通过Kummer商构造分离偶数与奇数权，并应用对数Riemann-Roch定理，作者证明了权1丛的Chern示性类属于Chow环的0次部分，从而在挠子群意义下代数平凡。

ABSTRACT

We show that the Chern character of a variation of polarized Hodge structures of weight one with nilpotent residues at $\infty$ dies up to torsion in the Chow ring, except in codimension 0.

研究动机与目标

• 确定阿贝尔簇族中权1的Gauss-Manin丛是否能在Chow群中产生非平凡的代数循环。
• 将Mumford与van der Geer在有理Chow环中关于Chern类的消去结果，推广至具幂零单值的一般阿贝尔簇族情形。
• 提供权1 Gauss-Manin丛的Chern示性类在有理Chow环中消去的直接证明，且不依赖于曲线或阿贝尔簇的约化。
• 建立一个考虑边界除子与幂零余项的对数版本的Riemann-Roch-Grothendieck定理。

提出的方法

• 通过(−1)-对合作用对阿贝尔簇族构造Kummer商，以分离Gauss-Manin丛的偶数与奇数权分量。
• 利用引理2.1，将ch(H^1)的消去问题约化为商族中偶数权丛的Chern示性类的消去问题。
• 对商族应用对数Riemann-Roch-Grothendieck定理（定理4.1），追踪边界除子与对数结构的影响。
• 证明对数微分形式与幂零余项对Riemann-Roch公式中的校正项有消除作用，从而导致高余维数下Chern示性类的消去。
• 利用对合在商族中偶数权丛上作用平凡的事实，将原丛的Chern示性类与商族的Chern示性类联系起来。
• 验证带有水平结构的普遍阿贝尔簇的紧化空间可兼容地延拓(−1)-作用，且不动点受控。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔簇族中权1的Gauss-Manin丛是否能在Chow群中产生非平凡的代数循环？
• RQ2 权1 Gauss-Manin丛的Deligne扩张的Chern示性类是否在Chow环中有理消失？
• RQ3 能否在不约化至曲线情形或不使用主极化恒等式的情况下，建立有理Chow环中Chern类的消去？
• RQ4 边界除子与对数结构如何影响Gauss-Manin丛的Riemann-Roch公式？

主要发现

• 权1 Gauss-Manin丛的Deligne扩张的Chern示性类属于CH^0(B) ⊗ Q，意味着其在高余维数下平凡。
• 通过Kummer商构造分离偶数与奇数权，确立了有理Chow环中ch(H^1)的消去。
• 对数Riemann-Roch-Grothendieck定理（定理4.1）表明，在给定假设下，对数微分形式与幂零余项引起的校正项全部消失。
• 该方法避免了通过曲线或极化相关论证的迂回，为权1情形提供了直接证明。
• 该结果可推广至特征p ≠ 2的域，在此情形下，相对对数上同调层的和的Chern示性类在Chow环中有理消失。
• Hodge丛E∨ ⊕ E的Chern示性类在余维数≥1时消失，意味着对ℓ ≥ 1，有ch2ℓ(E) = ch2ℓ(E∨) = 0在CH^2ℓ(S) ⊗ Q中成立。