[论文解读] Chern Classes Of Logarithmic Vector Fields For Locally-Homogenous Free Divisors

Xia Liao|arXiv (Cornell University)|May 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了在射影空间中，对局部准齐次自由除子的补集的陈-施瓦茨-麦科菲森类与其实对数导子层的总陈类在上推至射影空间后的数值等价性。利用黎曼-罗赫定理与对数比较定理，作者证明了该关系对射影空间中所有局部准齐次自由除子成立，推广了关于超平面排列的已有结果，并证实了该设定下的一个猜想。

ABSTRACT

Let $X$ be a nonsingular complex projective variety and $D$ a locally quasi-homogeneous free divisor in $X$. In this paper we study a numerical relation between the Chern class of the sheaf of logarithmic derivations on $X$ with respect to $D$, and the Chern-Schwartz-MacPherson class of the complement of $D$ in $X$. Our result confirms a conjectural formula for these classes, at least after push-forward to projective space; it proves the full form of the conjecture for locally quasi-homogeneous free divisors in $\mathbb P^n$. The result generalizes several previously known results. For example, it recovers a formula of M. Mustata and H. Schenck for Chern classes for free hyperplane arrangements. Our main tools are Riemann-Roch and the logarithmic comparison theorem of Calderon-Moreno, Castro-Jimenez, Narvaez-Macarro, and David Mond. As a subproduct of the main argument, we also obtain a schematic Bertini statement for locally quasi-homogeneous divisors.

研究动机与目标

• 为解决一个关于除子补集的陈-施瓦茨-麦科菲森类与其实对数导子层总陈类之间联系的猜想。
• 确定该类等式在上推至射影空间后以数值形式成立的精确条件。
• 将关于自由超平面排列与孤立超曲面奇点的已知结果推广至更广泛的除子类。
• 作为主论证的副产品，建立一个关于局部准齐次除子的图示型贝尔蒂尼定理。

提出的方法

• 应用对数比较定理（LCT）以确保对数导子的陈类与补集的CSM类具有相同的次数。
• 利用黎曼-罗赫定理比较 Chow 环中相关类的次数。
• 采用一个将超平面截面的对数导子与法丛及原层联系起来的正合列，实现归纳约化。
• 利用投影公式与陈类恒等式，将超平面截面上类的上推与原簇上类的上推联系起来。
• 在嵌入射影簇的维数上使用归纳法，假设低维情形结论成立。
• 利用 GAGA 与解析几何，确保在解析与代数范畴中相干层序列的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，除子补集的陈-施瓦茨-麦科菲森类与其实对数导子层的总陈类在 Chow 环中相等？
• RQ2 关于 CSM 类与对数导子层陈类之间关系的猜想公式是否对射影空间中的局部准齐次自由除子成立？
• RQ3 对数比较定理能否用于建立 CSM 类与对数导子层陈类之间的次数相等？
• RQ4 是否存在一个图示型贝尔蒂尼定理，使得在超平面截面下保持自由性与准齐次性？
• RQ5 对数向量场的陈类与 CSM 类在限制到超平面截面时的行为如何？

主要发现

• 对于任意在非奇异射影簇 $ X \to \bb{P}^N $ 中的局部准齐次自由除子 $ D $，公式 $ c_{SM}(1_U) = c(\text{Der}_X(-\text{log } D)) \times [X] $ 在上推至 $ \bb{P}^N $ 后以数值形式成立。
• 当 $ X = \bb{P}^n $ 时，该公式在 Chow 环中完全成立，从而在该情形下完整证实了该猜想。
• 通过对数比较定理与黎曼-罗赫定理，已确立 CSM 类与对数导子层陈类的次数相等。
• 证明了一个图示型贝尔蒂尼定理：一般超平面截面下，$ (X,D) $ 的自由性与准齐次性得以保持。
• CSM 类与对数导子层陈类在超平面限制下的行为，均由相同的投影公式与陈类恒等式所支配。
• 归纳证明结构依赖于 CSM 类与对数导子层陈类在限制到超平面截面时的相容性，从而实现逐维数的验证。