[论文解读] Chern-Schwartz-MacPherson Class of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 3

一句话总结

该论文通过在格拉斯曼流形上构造的射影丛实现的奇点解析，计算了定义为核维数至少为 $k$ 的 $m \times n$ 矩阵集合的陈-施瓦茨-麦科伊森（CSM）类 $\alpha_{m,n,k}$。关键贡献是给出了 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ 的显式公式，该公式利用了函子性与格拉斯曼流形几何，可在 Macaulay2 中实现，并提出了关于光滑部分中有效性与消失性的猜想。

ABSTRACT

For $m\geq n$, let $ au_{m,n,k}$ be the set of $m imes n$ matrices with kernel dimension $\ge k$. It is viewed as a subvariety of the projective space $\mathbb{P}^{mn-1}$ of nonzero $m imes n$ matrices up to scalar. In most cases $ au_{m,n,k}$ is singular, and its singular locus is $ au_{m,n,k+1}$. In this note we compute its Chern-Schwartz-MacPherson class $c_{SM}( au_{m,n,k})$ by using a resolution of singularities $ u\colon \hat au_{m,n,k} o au_{m,n,k} $, which may also be realized as a projective bundle over a Grassmannian. By the functoriality of $c_{SM}$ class, we can relate $c_{SM}( au_{m,n,k})$ to the pushforward $ u_*c_{SM}(\hat au_{m,n,k})$, and the Grassmanian plays an important role in the computation. Our formula can be easily implemented in Macaulay2. On the basis of explicit computations in low dimension, we formulate conjectures concerning the effectivity of the classes and the vanishing of specific terms in the $c_{SM}$ classes of the nonsingular part of the loci $ au_{m,n,k}$.

研究动机与目标

• 计算奇异行列式簇 $\alpha_{m,n,k}$ 的陈-施瓦茨-麦科伊森类，该簇定义为核维数至少为 $k$ 的 $m \times n$ 矩阵的集合。
• 通过几何构造将 $\alpha_{m,n,k}$ 的奇点解析化，该构造将解析表示为参数化 $k$-维子空间的格拉斯曼流形上的射影丛。
• 利用陈-施瓦茨-麦科伊森类的函子性，将奇异簇的类与其实解的陈-施瓦茨-麦科伊森类的向前映射联系起来。
• 推导出 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ 的公式，使其计算上可行，尤其可在 Macaulay2 中实现。
• 基于低维计算中观察到的模式，对 $\alpha_{m,n,k}$ 的光滑部分中陈-施瓦茨-麦科伊森类的有效性与特定项的消失性提出猜想。

提出的方法

• 使用奇点解析 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$，其构造为参数化 $k$-维子空间的格拉斯曼流形上的射影丛。
• 应用陈-施瓦茨-麦科伊森类的函子性性质，将 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ 表示为在解析映射下 $c_{\text{SM}}(\tilde{\alpha}_{m,n,k})$ 的向前映射。
• 利用格拉斯曼流形上已知的交点理论，通过射影丛结构计算向前映射。
• 利用解析的结构，将陈-施瓦茨-麦科伊森类的计算简化为格拉斯曼流形上的施伯特演算问题。
• 在 Macaulay2 中实现所得公式，以在低维情形下进行显式计算。
• 基于低维计算中观察到的模式，对 $\alpha_{m,n,k}$ 的光滑部分中陈-施瓦茨-麦科伊森类的有效性与消失性提出猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在奇点，如何计算奇异行列式簇 $\alpha_{m,n,k}$ 的陈-施瓦茨-麦科伊森类？
• RQ2 格拉斯曼流形在解析 $\alpha_{m,n,k}$ 的奇点并促进其陈-施瓦茨-麦科伊森类计算中起到什么作用？
• RQ3 能否将 $\alpha_{m,n,k}$ 的陈-施瓦茨-麦科伊森类表示为格拉斯曼流形上射影丛的解析的向前映射？
• RQ4 陈-施瓦茨-麦科伊森类在 $\alpha_{m,n,k}$ 的光滑部分中表现出哪些结构性质，如有效性与消失性？
• RQ5 如何系统地在计算代数几何软件（如 Macaulay2）中实现所得公式？

主要发现

• 通过格拉斯曼流形上的射影丛实现的奇点解析，陈-施瓦茨-麦科伊森类 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ 获得了计算，从而实现了显式计算。
• 公式 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ 的推导基于陈-施瓦茨-麦科伊森类的函子性与在解析映射下的向前映射。
• 解析映射 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$ 允许将奇异簇的陈-施瓦茨-麦科伊森类表示为光滑解析的陈-施瓦茨-麦科伊森类的向前映射。
• 所得公式可在 Macaulay2 中实现，从而在低维情形下促进显式计算。
• 基于低维计算，作者提出了关于陈-施瓦茨-麦科伊森类有效性的猜想，以及 $\alpha_{m,n,k}$ 光 滑部分中特定项消失的猜想。
• 格拉斯曼流形在组织解析的几何结构方面起着核心作用，并通过交点理论技术促进计算。