[论文解读] Chern-Simons Forms and Higher Character Maps of Lie Representations

Yuri Berest, Giovanni Felder+3 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过在卷积微分graded代数中使用Chern-Simons形式，为李代数表示理论中的Drinfeld迹提供了显式公式，建立了阿贝尔李代数上de Rham形式的典范微分算子。关键贡献是仅依赖于Cartan数据（h, W, P）的约化迹映射Trh(a)的组合公式，并在稳定极限下验证了经典李代数的Harish-Chandra拟同构猜想。

ABSTRACT

This paper is a sequel to our earlier work [BFPRW], where we study the derived representation scheme DRep_{g}(A) parametrizing the representations of a Lie algebra A in a finite-dimensional reductive Lie algebra g. In [BFPRW], we defined two canonical maps Tr_{g}(A): HC^{(r)}(A) o \H[\DRep_{g}(A)]^G and Φ_{g}(A): H[\DRep_{g}(A)]^G o H[\DRep_{h}(A)]^W called the Drinfeld trace and the derived Harish-Chandra homomorphism, respectively. In this paper, we give an explicit formula for the Drinfeld trace in terms of Chern-Simons classes of a canonical g-torsor associated to the pair (A, g). Our construction is inspired by (and, in a sense, dual to) the classical construction of `additive regulator maps' due to Beilinson and Feigin. As a consequence, we show that, if A is an abelian Lie algebra, the composite map Phi_{g}(A) Tr_{g}(A) is represented by a canonical differential operator acting on differential forms on Sym(A) and depending only on the Cartan data (h, W, P), where P is a W-invariant polynomial on h. We derive a combinatorial formula for this operator that plays an important role in the study of derived commuting schemes in [BFPRW].

研究动机与目标

• 提供基于李代数的导出表示方案中Chern-Simons形式的Drinfeld迹的显式公式。
• 证明复合映射Φg(a) ◦ Trg(a)，称为约化迹Trh(a)，对于阿贝尔李代数仅依赖于Cartan数据（h, W, P）。
• 利用Chevalley同构，推导作用于对称代数Sym(a)上微分形式的约化迹算子的组合公式。
• 通过同调微扰，建立A∞-拟同构与Chern-Simons形式之间的联系，从而获得一个新的组合恒等式。
• 通过提供详细推导并证明其与Teleman公式等价，澄清并补全Beilinson对加法上同调映射的草图。

提出的方法

• 为对(a, g)构造一个与之自然关联的卷积DG代数，其中a为DG李代数，g为半单李代数。
• 在此卷积代数中，通过Chern-Simons形式定义Drinfeld迹映射Trg(a) : HC(r)•(a) → H•(a, g)^G，推广经典特征映射。
• 证明约化迹Trh(a) = Φg(a) ◦ Trg(a)可分解为作用于Sym(a)的de Rham复形上的典范W-不变微分算子。
• 基于A∞-拟同构的分量，利用二叉树上的对称化求和，推导出该算子的显式组合公式。
• 应用同调微扰引理，将A∞-分量转化为基于树的求和，并与Chern-Simons形式比较，获得新的恒等式。
• 重建并补全Beilinson对加法上同调映射的草图，表明Teleman公式自然源于此构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 Drinfeld迹映射如何在导出表示方案的Chern-Simons形式中显式表达？
• RQ2 对于阿贝尔李代数，复合映射Φg(a) ◦ Trg(a)的结构是什么？它如何依赖于Cartan数据（h, W, P）？
• RQ3 能否构造一个作用于Sym(a)上de Rham形式的典范微分算子，以计算约化迹Trh(a)？
• RQ4 将A∞-拟同构分量与Chern-Simons形式比较时，会导出何种组合恒等式？
• RQ5 Beilinson对加法上同调映射的草图如何与Chern-Simons形式及Teleman公式相关联？

主要发现

• Drinfeld迹Trg(a)由与(a, g)相关联的卷积DG代数中的Chern-Simons形式显式给出，为迹映射提供了几何实现。
• 对于阿贝尔李代数，约化迹Trh(a)由作用于Sym(a)的de Rham复形上的典范W-不变微分算子给出，且仅依赖于Cartan数据（h, W, P）。
• 推导出该算子的组合公式，将其表达为等价类二叉树上的求和，系数由符号和对称化确定。
• 证明Trh(a)的公式与文献[4]中用于在稳定极限下验证经典李代数Harish-Chandra拟同构猜想的公式等价。
• 建立了一个新组合恒等式，将A∞-分量在二叉树上的求和等同于显式Chern-Simons形式，证实了同调代数与特征类之间的联系。
• 通过证明Teleman公式自然源于该构造，本文完整补全了Beilinson对加法上同调映射的草图，提供了加法上同调映射关于Chern-Simons形式的完整推导。