[论文解读] Chern-Simons gravity, based on a non-semisimple group

Christian Duval, Z. Horvȧth+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文基于一个非半单的扩展庞加莱代数，构建了一个(2+1)-维规范理论，表明该理论的维度约化可重现卡涅米与贾基夫的(1+1)-维弦论启发引力模型。关键结果是：通过使用一个具有中心扩张的非半单代数（生成元为Pμe、J和T），从更高维度的陈-西蒙斯作用量出发，一致地推导出卡涅米-贾基夫模型。

ABSTRACT

The gauge theory-formulation of string-motivated lineal gravity proposed by Cangemi and Jackiw is obtained by dimensional reduction from $(2+1)$ dimensional gravity with a Chern-Simons Lagrangian.

研究动机与目标

• 建立卡涅米与贾基夫所提出的(1+1)-维弦论启发引力模型的更高维度起源。
• 证明该模型可通过(2+1)-维陈-西蒙斯规范理论的维度约化而获得。
• 基于具有非零中心扩张的非半单李代数，构造一个一致的陈-西蒙斯拉格朗日量。
• 表明由此产生的场方程重现了低维模型中的无挠率与无曲率条件。
• 基于一个具有中心扩张的非半单代数，提供一种线性引力的规范场论表述。

提出的方法

• 使用一个具有生成元Pμ、Jμ和Tμ的非半单扩展庞加莱代数，构造一个(2+1)-维规范理论，其中满足[ Pμ, Pν ] = đμνρ Tρ 与 [ Jμ, Pν ] = đμνρ Pρ。
• 引入联络形式 Aα = eαμ Pμ + ωαμ Jμ + aαμ Tμ，其中洛伦兹度规为 ημν = diag(-1,1,1)。
• 利用不变双线性形式 Ω_AB M^A M^B = Pμ P^bc + Jμ T^bc + Tμ J^bc 构造陈-西蒙斯拉格朗日量。
• 从陈-西蒙斯3-形式推导出场方程，前两个方程给出无挠率与无曲率条件。
• 通过假设所有场与x_2无关，执行维度约化，实现(2+1)D场向(1+1)D变量的一致截断。
• 确认约化后的拉格朗日量与Cangemi-Jackiw作用量完全匹配，具有相同的场方程与约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从(2+1)-维规范理论推导出(1+1)-维卡涅米-贾基夫引力模型？
• RQ2 当该模型被提升至更高维度时，其背后的非半单李代数结构是什么？
• RQ3 是否存在一个(2+1)维的陈-西蒙斯作用量，其维度约化后可产生弦论启发的(1+1)维引力？
• RQ4 通过Tμ引入的中心扩张如何影响约化后理论的规范结构与场方程？
• RQ5 在非半单代数上，非退化双线性形式在构造一致陈-西蒙斯理论中的作用是什么？

主要发现

• 基于非半单扩展庞加莱代数构造的(2+1)-维陈-西蒙斯拉格朗日量，在维度约化后重现了卡涅米-贾基夫模型。
• 陈-西蒙斯作用量产生的场方程强制要求无挠率与无曲率，与(1+1)-维引力方程R=0和∇_μ∇_νη = (1/2)Λ h_μν一致。
• 约化过程将(2+1)D场e_α^μ、ω_α^μ、a_α^μ 映射为(1+1)D场e_a^k、ω_a、a_a、η^k、η^2、η^3，如本文所规定。
• 由此得到的(1+1)D拉格朗日量与Cangemi和Jackiw给出的形式完全一致，确认了其规范场论起源。
• 非半单代数结构（其中[P,P]与T成正比，[J,P]与P成正比）使得能够构造一个具有非退化双线性形式的一致陈-西蒙斯作用量。
• 本文通过非半单规范群，建立了弦论启发引力与高维陈-西蒙斯规范理论之间的直接联系，解决了卡涅米与贾基夫提出的问题。