[论文解读] Chevalley-Weil Theorem and Subgroups of Class Groups

Yuri Bilu, Jean Gillibert|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为数域上曲线的étale覆叠建立了Chevalley-Weil定理的'绝对'版本，证明了其在无处处分歧扩张中的无穷多次专门化。通过类域论与单位根上雅可比簇的扭子群，构造出类群中$n$-秩可任意大数域，显著改进了先前方法，消除了早期结果中单位群惩罚的影响。

ABSTRACT

We prove, under some mild hypothesis, that an étale cover of curves defined over a number field has infinitely many specializations into an everywhere unramified extension of number fields. This constitutes an "absolute" version of the Chevalley-Weil theorem. Using this result, we are able to generalize the techniques of Mestre, Levin and the second author for constructing and counting number fields with large class group.

研究动机与目标

• 为数域上曲线的étale覆叠建立Chevalley-Weil定理的绝对版本。
• 构造无穷多个类群中$n$-秩极大的数域扩张，且不受单位群秩的影响。
• 推广并改进Mestre、Levin与Bilu关于构造类群极大的数域的方法。
• 为具有有界判别式的此类数域数量提供定量下界。
• 将结果应用于分圆域与费马型曲线，以实现高$p$-秩类群的显式构造。

提出的方法

• 在温和假设下，证明数域上曲线的étale覆叠具有无穷多次专门化进入处处无分歧扩张。
• 利用类域论，将专门化域的类群$n$-秩与曲线雅可比簇中$μ_n$-扭子联系起来。
• 定义$\operatorname{rk}_{\mu_n}J(\mathcal{C})$为与$\mu_n^r$同构的$\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$-子模的最大秩。
• 应用主丛理论与伽罗瓦覆叠的专门化理论，确保专门化域的类群继承自雅可比簇的$μ_n$-扭子。
• 利用定义度$d$-态射$\mathcal{C} \to \mathbb{P}^1$的函数$t$来参数化专门化并控制判别式增长。
• 推导出此类数域数量的定量下界：$cX^{\ell/(2m(d-1))}/\log X$，其中$\mathcal{D}(L/K) \leq X$，$\ell = [K:\mathbb{Q}]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明存在无穷多个固定次数的数域扩张，其类群中$n$-秩可任意大，且不受单位群秩的影响？
• RQ2 能否通过新的上同调或类域论方法，消除先前构造中单位群秩带来的负面影响？
• RQ3 数域类群的$n$-秩在多大程度上可由基域上曲线的$μ_n$-扭子控制？
• RQ4 在所有固定次数的扩张中，类群具有大$n$-秩的数域的渐近密度如何？
• RQ5 能否显式构造出一族曲线，使得其专门化产生类群$p$-秩与次数呈线性关系的数域？

主要发现

• 存在无穷多个次数为$d$的数域$L/K$，使得$\operatorname{rk}_n\operatorname{Cl}(L) \geq \operatorname{rk}_{\mu_n}J(\mathcal{C}) + \operatorname{rk}_n\operatorname{Cl}(K)$，且无单位群惩罚。
• 当$p \geq 3$且$d \leq p-1$时，若$K$包含$\zeta_p$，则存在无穷多个扩张$L/K$，满足$[L:K] = d$且$\operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(L) \geq 3 + \operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(K)$。
• 当$K$包含$\zeta_p$时，曲线$y^p = x^{d-1}(1-x)$满足$\operatorname{rk}_{\mu_p}J(\mathcal{C}) \geq d-1$，从而对无穷多个$L$有$\operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(L) \geq d-1 + \operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(K)$。
• 满足$\mathcal{D}(L/K) \leq X$的此类数域$L$的数量至少为$cX^{\ell/(2m(d-1))}/\log X$，其中$\ell = [K:\mathbb{Q}]$，$c > 0$依赖于曲线与函数。
• 该结果恢复并改进了Mestre的构造：当$K = \mathbb{Q}$时，该方法可对无穷多个二次域$L$满足$\operatorname{rk}_5\operatorname{Cl}(L) \geq 3$，且在判别式不超过$X$的范围内，此类数域数量至少为$cX^{\ell/22}$。
• 该方法避开了早期库默尔理论方法中出现的单位群项，因此即使$K \neq \mathbb{Q}$也适用。