[论文解读] Choice numbers of graphs

Shai Gutner|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究图的第 $k$ 个选择数 $ch_k(G)$，将 $(a:b)$-可选择性推广以研究列表着色性质。研究发现当 $k$ 较大时，$ch_k(G) \leq k(\chi(G) + \epsilon)$，并为完全多部图提供了紧致界，还证明了具有特定定向或结构性质（如二分图、三角剖分图）的图是 $k$-可选择的。主要贡献之一是为有向图在度数约束下构造合适着色的多项式时间算法。

ABSTRACT

A solution to a problem of Erdős, Rubin and Taylor is obtained by showing that if a graph $G$ is $(a:b)$-choosable, and $c/d > a/b$, then $G$ is not necessarily $(c:d)$-choosable. The simplest case of another problem, stated by the same authors, is settled, proving that every 2-choosable graph is also $(4:2)$-choosable. Applying probabilistic methods, an upper bound for the $k^{th}$ choice number of a graph is given. We also prove that a directed graph with maximum outdegree $d$ and no odd directed cycle is $(k(d+1):k)$-choosable for every $k \geq 1$. Other results presented in this article are related to the strong choice number of graphs (a generalization of the strong chromatic number). We conclude with complexity analysis of some decision problems related to graph choosability.

研究动机与目标

• 将选择数的概念推广至第 $k$ 个选择数 $ch_k(G)$，研究 $k \geq 1$ 时的 $(a:b)$-可选择性。
• 解决关于 $ch_k(G)$ 随 $k$ 增大而变化行为的开放问题，特别是 $\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$ 是否蕴含 $(c:d)$-可选择性。
• 为完全多部图和结构图（包括随机图和平面图）建立 $ch_k(G)$ 的紧致上界。
• 开发一种多项式时间算法，用于在有无环定向且出度有界的图中构造合适的 $k$-着色。
• 以图的结构特征（如核心性质、最大平均度、诱导子图度数）来刻画 $k$-可选择性。

提出的方法

• 使用极值图论和概率方法，推导完全 $r$-部图 $K_{m_1,\dots,m_r}$ 的 $ch_k(G)$ 上界。
• 应用广义定向定理：若图 $G$ 存在无奇有向圈且最大出度为 $d$ 的定向 $D$，则 $G$ 是 $(k(d+1):k)$-可选择的。
• 采用归纳划分技术（引理 7.2），将集合族分解为不相交的可着色子集，从而实现 $k$-可选择着色。
• 构造显式反例，表明即使 $G$ 是 $(a:b)$-可选择的，$\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$ 也不蕴含 $(c:d)$-可选择性。
• 使用最大平均度 $M(G) = \max |E(H)|/|V(H)|$ 的概念，对二分图和平面图的 $ch_k(G)$ 进行界控。
• 应用强选择数概念，证明 $ch_k(G) = k\chi(G)$ 对三角剖分图成立，并验证了 $C_n$-自由图的列表色数猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $G$ 是 $(a:b)$-可选择的，是否对所有 $\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$ 都有 $(c:d)$-可选择性？
• RQ2 当 $k \to \infty$ 时，$ch_k(G)$ 的渐近行为如何？
• RQ3 如何用 $r$、$m_i$ 和 $k$ 表示 $ch_k(K_{m_1,\dots,m_r})$ 的紧致上界？
• RQ4 能否通过基于定向的结构约束保证图的 $k$-可选择性？
• RQ5 在何种条件下 $ch_k(G) = k\chi(G)$ 成立，特别是对三角剖分图？

主要发现

• 对任意 $\epsilon > 0$，存在 $k_0$，使得对所有 $k \geq k_0$，有 $ch_k(G) \leq k(\chi(G) + \epsilon)$，表明 $ch_k(G)$ 在 $k$ 上渐近线性。
• 存在图 $G$ 是 $(m:1)$-可选择的，但对 $l > m \geq 3$ 不是 $(l:1)$-可选择的，从而否定了 Erdős、Rubin 和 Taylor 的一个猜想。
• 对完全 $r$-部图 $K_{m_1,\dots,m_r}$，有 $ch_k(G) \leq 948r\left(k + \log{\left(\frac{m_1 + \cdots + m_r}{r}\right)}\right)$。
• 对任意图 $G$，有 $ch_k(G) \leq 948\chi(G)\left(k + \log{\left(\frac{|V|}{\chi(G)} + 1\right)}\right)$。
• 对随机图 $G_{n,p}$，当 $n \to \infty$ 时，以高概率有 $ch_k(G_{n,p}) \leq 475 \log{(1/(1-p))} \cdot n \cdot \frac{\log\log n}{\log n}$。
• 若图 $G$ 存在无奇有向圈且最大出度为 $d$ 的定向，则对所有 $k \geq 1$，$G$ 是 $(k(d+1):k)$-可选择的，并且存在多项式时间算法用于构造该着色。