[论文解读] Choosability of planar graphs of girth 5

Zdenĕk Dvořák, Ken‐ichi Kawarabayashi|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文通过放宽对列表大小为2的顶点的约束，强化了Thomassen于1995年关于围长为5的平面图的列表染色结果，证明若不存在五条顶点路径在位置1,2,4,5处具有特定的2-列表模式，则此类图仍为3-可选的。关键贡献在于提出了一种新的列表可选性充分条件，允许2-列表顶点更密集地分布，从而为具有预染色外面对的3-列表染色临界图提供了更紧的界限。

ABSTRACT

Thomassen proved that any plane graph of girth 5 is list-colorable from any list assignment such that all vertices have lists of size two or three and the vertices with list of size two are all incident with the outer face and form an independent set. We present a strengthening of this result, relaxing the constraint on the vertices with list of size two. This result is used to bound the size of the 3-list-coloring critical plane graphs with one precolored face.

研究动机与目标

• 通过减少对列表大小为2的顶点的限制，强化Thomassen关于围长为5的平面图3-可选性的结果。
• 刻画围长为5且外面对已预染色的3-列表染色临界平面图的结构。
• 以预染色面对的长度为参数，推导出此类临界图中顶点数的上界。
• 建立一种通过结构分解与归纳法生成和分析临界图的框架。

提出的方法

• 引入新的列表赋值条件：不存在在位置1,2,4,5处列表大小为2的五顶点路径。
• 基于图的大小使用归纳法，通过结构分解将问题约化为更小的子图。
• 将临界图定义为：子图的预染色无法扩展至整个图，但在其每个真子图中均可扩展。
• 为面定义并使用权重函数 w(x)，通过其总和界定总权重，进而导出顶点数的不等式。
• 在归纳步骤中处理非平凡约化时，考虑环和面结构，特别是引理20中的配置(g)和(h)。
• 利用权重函数，推导出 |V(G)| 关于 ℓ(F)（即预染色面对的长度）的线性上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Thomassen关于围长为5的平面图的列表染色结果中，是否可以放宽对2-列表顶点的约束而不损失3-可选性？
• RQ2 围长为5且外面对已预染色的3-列表染色临界平面图具有何种结构特性？
• RQ3 此类临界图最多可包含多少个顶点，其作为预染色面对长度的函数？
• RQ4 能否基于禁止配置的分解规则，算法化地生成临界图的结构？

主要发现

• 本文证明，在放松条件下，围长至少为5的平面图是3-可选的：即不存在在顶点1,2,4,5处列表大小为2的五顶点路径。
• 对于围长为5的 F-临界图，其顶点数上界为 (37ℓ(F) - 320)/3，其中 ℓ(F) 为预染色面对的长度。
• 该上界关于 ℓ(F) 为线性关系，证实此类临界图的大小随边界长度线性增长。
• 证明表明，此类临界图的数量至多为 ℓ(F) 的指数级，与基于树的构造所得的下界一致。
• 权重函数方法可通过面长度和结构约束，推导出边数和顶点数的紧致不等式。
• 结果表明，具有预染色面对的3-列表染色临界图类具有结构上的约束性，且对较小的面对长度可算法化生成。