[论文解读] Chow quotients of Grassmannian I

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|Oct 7, 1992

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文引入了格拉斯曼流形的 Chow 商 $G(k,n)//H$，作为在 $\mathbb{P}^{k-1}$ 中 $n$ 个点配置模 $GL(n)$ 的极大环面 $H \subset GL(n)$ 作用下轨道闭包的紧化。研究证明 $G(2,n)//H$ 同构于 Deligne-Mumford 紧化 $\overline{M_{0,n}}$，通过 Lie 复形和 Veronese 曲面的极限，实现了稳定 $n$-点有理曲线的几何实现。

ABSTRACT

We introduce a certain compactification of the space of projective configurations i.e. orbits of the group $PGL(k)$ on the space of $n$ - tuples of points in $P^{k-1}$ in general position. This compactification differs considerably from Mumford's geometric invariant theory quotient. It is obtained by considering limit position (in the Chow variety) of the closures of generic orbits. The same result will be obtained if we study orbits of the maximal torus on the Grassmannian $G(k,n)$. We study in detail the closures of the torus orbits and their "visible contours" which are Veronese varieties in the Grassmannian. For points on $P^1$ our construction gives the Grothemdieck - Knudsen moduli space of stable $n$ -punctured curves of genus 0. The "Chow quotient" interpretation of this space permits us to represent it as a blow up of a projective space.

研究动机与目标

• 通过研究环面作用下轨道闭包的极限，构造 $\mathbb{P}^{k-1}$ 中 $n$ 个点配置模射影等价关系的紧化模空间。
• 将 Chow 商 $G(k,n)//H$ 定义为格拉斯曼流形 $G(k,n)$ 中通用 $H$-轨道闭包在 Chow 空间中 $k-1$ 维、度数为 $n-1$ 的周期的像的闭包，推广紧化概念。
• 在广义 Lie 复形与稳定 $n$-点有理曲线之间建立几何对应关系，将 $G(2,n)//H$ 与 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 识别。
• 通过 Chow 商与格拉斯曼流形中的 Veronese 曲面，为 Gelfand-MacPherson 对应关系提供新的几何解释。
• 将限制与投影映射 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ 从格拉斯曼流形的通用部分延拓至完整的 Chow 商，支持归纳构造。

提出的方法

• 将 Chow 商 $G(k,n)//H$ 定义为在 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中 $k-1$ 维、度数为 $n-1$ 的周期的 Chow 空间中，轨道闭包映射像的闭包。
• 利用 Gelfand-MacPherson 对应关系，将 $\mathbb{P}^{k-1}$ 中 $n$ 个点的配置与 $(\mathbb{P}^{k-1})^n$ 中 $GL(k)$-轨道联系起来，并在 Chow 空间中取极限。
• 将 Chow 商 $G(k,n)//H$ 表征为嵌入 $G(k-1, \mathfrak{h})$ 的 Veronese 映射像的闭包，其中 $\mathfrak{h}$ 是环面 $H$ 的李代数。
• 将 Lie 复形 $Z$ 的可见轮廓定义为包含通用点 $p = (1:\cdots:1)$ 的子空间的集合，该点位于 $G(k-1, \mathfrak{h})$ 中。
• 将可见扫掠 $Sw(Z)$ 定义为可见轮廓中所有子空间的并集，其可显式计算为有理映射的像。
• 利用双有理映射 $\sigma_i: \u005coverline{M_{0,n}} \to \mathbb{P}^{n-3}$ 和逆极限构造，证明 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 同构于 $M_{0,n}$ 在一系列爆破的纤维积中的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将稳定 $n$-点有理曲线的模空间 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 实现为 $\mathbb{P}^{k-1}$ 中 $n$ 个点配置空间的紧化？
• RQ2 在环面 $H$ 作用于格拉斯曼流形 $G(k,n)$ 时，Chow 商 $G(k,n)//H$ 的几何结构是什么？
• RQ3 限制与投影映射 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ 如何从格拉斯曼流形的通用部分延拓至完整的 Chow 商？
• RQ4 Veronese 曲面及其可见轮廓在实现 Chow 商 $G(k,n)//H$ 中起什么作用？
• RQ5 空间 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 能否通过 Chow 商构造，作为射影空间的爆破序列，实现归纳构造？

主要发现

• Chow 商 $G(2,n)//H$ 同构于 Deligne-Mumford 紧化 $\u005coverline{M_{0,n}}$，为稳定 $n$-点有理曲线提供了几何实现。
• 空间 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 同构于 $M_{0,n}$ 在空间 $\Pi^{n-3}_{ij}$ 与 $\mathbb{P}^{n-3}_i$ 的逆极限中的闭包，且态射 $\psi$ 是代数簇之间的同构。
• 映射 $f_{ij} \times \pi_i: \u005coverline{M_{0,n}} \to \Pi^{n-3}_{ij} \times \u005coverline{M_{0,n-1}}$ 是代数簇的嵌入，表明 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 的结构由稳定曲线及其在一点上的限制决定。
• 稳定 $n$-点曲线 $C$ 的同构类可由 $\pi_i(C)$ 的同构类以及其在 $C$ 的对偶图中路径 $[ij]$ 上的标记点配置恢复。
• $\u005coverline{M_{0,n}}$ 同构于 $\u005coverline{M_{0,n-1}}$ 与 $\mathrm{Bl}_{p_j}\Pi^{n-3}_{ij}$ 关于 $\mathbb{P}^{n-4}_{ij}$ 的纤维积，给出了 $\u005coverline{M_{0,n}}$ 作为迭代爆破的归纳构造。
• 格拉斯曼流形中 Veronese 曲面的同调类对应于 $GL(n-k)$ 的表示维数，将代数几何与表示理论联系起来。