[论文解读] Chowla and Sarnak Conjectures for Kloosterman Sums

E. H. El Abdalaoui, Igor E. Shparlinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2022

Analytic Number Theory Research被引用 1

一句话总结

本文为 Kloosterman 和的 Chowla 与 Sarnak 猜想建立了类比，并在水平与垂直两个方面无条件地证明了幂次节省的界。通过迹公式、乘法函数和 Weyl 差分法，作者获得了强于已知 Möbius 函数结果的结论，包括水平和的 O(M^{1/2 + γ + o(1)}) 估计，以及具有多项式相位的垂直和的 O(N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1}) 估计。

ABSTRACT

We formulate several analogues of the Chowla and Sarnak conjectures, which are widely known in the setting of the Möbius function, in the setting of Kloosterman sums. We then show that for Kloosterman sums, in some cases, these conjectures can be established unconditionally.

研究动机与目标

• 将原本针对 Möbius 函数提出的 Chowla 与 Sarnak 猜想，推广至 Kloosterman 和的设定。
• 研究 Kloosterman 和在水平（对模数 m 求和）与垂直（对参数 n 求和）两个方面的随机性。
• 对加权了算术函数或低复杂度序列的 Kloosterman 和之和，建立无条件的幂次节省界。
• 证明对于 Kloosterman 和，某些猜想可无条件成立，且误差项强于 Möbius 函数情形。
• 探讨在 Kloosterman 和的背景下，乘法数论、指数和与谱理论之间的相互作用。

提出的方法

• 为归一化的 Kloosterman 和 Km(a) = (1/√m) Σ_{x∈Z_m^*} e_m(ax + x) 构造 Chowla 与 Sarnak 猜想的类比。
• 使用 Kuznetsov 的迹公式与谱理论，对有界序列 ξ(m) 控制水平和 Σ_{m≤M} ξ(m)Km(a)。
• 应用 μ(d)、ϕ(m) 与 κ_k(m) 等乘法函数，将和转化为算术平均，并利用抵消效应。
• 通过 Weyl 差分法与次数 d 的归纳法，控制具有多项式相位的垂直和 Σ_{n≤N} ξ(n)Km(n + h_j)。
• 利用 H"older 不等式与退化构型的组合界，控制关于元组的指数和。
• 利用 Weil 界 |Km(a)| ≤ 2ω(m) 与归一化形式 K∗_m(a) = |Km(a)| / 2ω(m) ≤ 2^{3/2} 控制大小，并应用平均化技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于 Kloosterman 和不具备乘法性且值分布密集，能否有意义地将 Chowla 与 Sarnak 猜想推广至 Kloosterman 和？
• RQ2 在具有算术权重的水平方面（模数 m 变化），Kloosterman 和之和可建立何种幂次节省界？
• RQ3 对于固定的 m 与低复杂度序列，垂直和 Σ_{n≤N} Km(n + h_j) 的最优抵消性质为何？
• RQ4 在类似设定下，能否对 Kloosterman 和获得强于 Möbius 函数的界？
• RQ5 多项式相位的次数如何影响 Kloosterman 和垂直和中的抵消效应？

主要发现

• 水平和 Σ_{m≤M} Km(a)κ_k(m) 的界为 O(M^{1/2 + γ + o(1)} + M^{1/2 + 1/(2k) + o(1)})，当 k ≥ 1 时实现幂次节省。
• 对于 Euler 亏格函数，Σ_{m≤M} Km(a)ϕ(m) ≪ M^{3/2 + γ + o(1)}，其中 γ < 1/2，优于平凡界。
• 在正常性条件下，具有 d 次多项式相位的垂直和满足 Σ_{n≤N} ∏_{j=1}^s Km(n + h_j) e(g(n)) ≪ N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1}。
• 对于有界序列 ξ_n = f(T^n x)，其中 T 为保测变换，和 Σ_{n≤N} Km(n)ξ_n 为 O_ε(N)，对任意 ε > 0 成立，且 H = o(N)，p 足够大。
• 通过 s 重 H"older 不等式得到的界为 W ≪ t^{1/2s} (s/H)^{1/2} N，经优化 H 与 s 后，最终为 O(N)。
• 结果为无条件成立，且优于已知的 Möbius 函数界，尤其在具有多项式相位的垂直方面表现更优。