[论文解读] Chromatic number of signed graphs with bounded maximum degree

Sandip Das, Soumen Nandi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Graph theory and applications参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了连通有号图在最大度 Δ 时的有号色数的紧致指数界，证明其介于 $2^{Δ/2 - 1}$ 与 $(Δ - 1)^2 · 2^{Δ - 1} + 2$ 之间，其中 $Δ \geq 3$。作者通过构造具有特定邻域扩展性质的随机有号完全图，并应用基于退化性的同态论证方法，推导出这些界。

ABSTRACT

A signed graph $ (G, Σ)$ is a graph positive and negative ($Σ$ denotes the set of negative edges). To re-sign a vertex $v$ of a signed graph $ (G, Σ)$ is to switch the signs of the edges incident to $v$. If one can obtain $ (G, Σ')$ by re-signing some vertices of $ (G, Σ)$, then $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. A signed graphs $ (G, Σ)$ admits an homomorphism to $ (H, Λ)$ if there is a sign preserving vertex mapping from $(G,Σ')$ to $(H, Λ)$ for some $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. The signed chromatic number $χ_{s}( (G, Σ))$ of the signed graph $(G, Σ)$ is the minimum order (number of vertices) of a signed graph $(H, Λ)$ such that $ (G, Σ)$ admits a homomorphism to $(H, Λ)$. For a family $ \mathcal{F}$ of signed graphs $χ_{s}(\mathcal{F}) = ext{max}_{(G,Σ) \in \mathcal{F}} χ_{s}( (G, Σ))$. We prove $2^{Δ/2-1} \leq χ_s(\mathcal{G}_Δ) \leq (Δ-1)^2. 2^{(Δ-1)} +2$ for all $Δ\geq 3$ where $\mathcal{G}_Δ$ is the family of connected signed graphs with maximum degree $Δ$. \end{abstract}

研究动机与目标

• 研究最大度 Δ 与有号图的有号色数之间的关系。
• 为最大度至多为 Δ 的连通有号图族建立有号色数的紧致上下界。
• 将已知的定向图与可推送色数结果推广至有号图设定。

提出的方法

• 在 $c = t(t-1) \cdot 2^t$ 个顶点上构造一个随机有号完全图，并证明其几乎必然满足邻域扩展性质 $P_{t-1}$。
• 定义性质 $P_{t-1}$，使得对于任意 $j$-元组顶点与 $j$-符号向量，其公共邻域大小至少为 $\frac{1 + (t-j)(t-2)}{2}$。
• 使用概率方法证明违反 $P_{t-1}$ 的概率小于 1，从而确保此类有号图的存在性。
• 证明任意最大度为 Δ 且退化性为 $\Delta - 1$ 的连通有号图，均能同态映射至具有性质 $P_{\Delta - 1}$ 的有号图。
• 通过边删除处理 Δ-正则图以降低退化性，然后通过增加两个新顶点并调整边符号，扩展同态映射。
• 利用已知不等式 $\chi_2((G,\Sigma)) \leq 2 \cdot \chi_s((G,\Sigma))$，从已知的定向色数结果推导出下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最大度有界的有号图族，其有号色数的渐近行为如何？
• RQ2 有号色数能否以最大度 Δ 的指数形式有界？
• RQ3 有号图的退化性如何与其同态至固定有号目标图的关系？
• RQ4 能否使用概率方法构造具有强邻域扩展性质的有号图？
• RQ5 连通有号图在最大度 Δ 时，其有号色数的最紧致上下界是什么？

主要发现

• 最大度至多为 Δ 的连通有号图族 $\mathcal{G}_\Delta$ 的有号色数下界为 $2^{\Delta/2 - 1}$。
• 对于所有 $\Delta \geq 3$，$\mathcal{G}_\Delta$ 的有号色数上界为 $(\Delta - 1)^2 \cdot 2^{\Delta - 1} + 2$。
• 在 $c = t(t-1) \cdot 2^t$ 个顶点上的随机有号完全图几乎必然满足邻域扩展性质 $P_{t-1}$，从而确保此类图的存在性。
• 任意最大度为 Δ 且退化性为 $\Delta - 1$ 的连通有号图，均能同态映射至具有性质 $P_{\Delta - 1}$ 的有号图。
• 上界在常数因子范围内是紧致的，因为相同界也适用于定向图的可推送色数。
• 下界源自已知的 2-边色数下界，利用不等式 $\chi_2 \leq 2 \cdot \chi_s$ 推导得出。