[论文解读] Chromatic numbers and a Lovász type inequality for non-commutative graphs

Se-Jin Kim, Arthur Mehta|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Graph theory and applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入了非交换图的色数的两个新推广——定义为子矩阵算子系统或迹为零的自伴算子空间——并建立了洛瓦兹夹逼定理的非交换类比，证明了非交换图的正交补的色数下界由其 theta 函数决定。此外，利用算子空间的范畴积与卡氏积，将萨比杜西定理与赫德蒂尼emi猜想推广至非交换设置。

ABSTRACT

Non-commutative graph theory is an operator space generalization of graph theory. Well known graph parameters such as the independence number and Lovász theta function were first generalized to this setting by Duan, Severini, and Winter. We introduce two new generalizations of the chromatic number to non-commutative graphs and provide a generalization of the Lovász sandwich inequality. In particular, we show the chromatic number of the orthogonal complement of a non-commutative graph is bounded below by its theta number. We also provide a generalization of both Sabadussi's Theorem and Hedetniemi's conjecture to non-commutative graphs.

研究动机与目标

• 将经典图参数（特别是色数与洛瓦兹 theta 函数）通过算子空间理论推广至非交换设置。
• 利用希尔伯特-施密特内积下的正交补，为非交换图定义有意义的补图概念。
• 建立洛瓦兹夹逼定理的非交换版本，证明正交补的色数下界由 theta 函数决定。
• 将萨比杜西关于卡氏积色数的定理与赫德蒂尼emi关于范畴积色数的猜想推广至迹为零的自伴算子空间。
• 回答斯泰尔克提出的问题，将恒等式 $\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ 推广至非交换图。

提出的方法

• 将非交换图定义为包含单位元且在取伴下封闭的子矩阵算子系统，以及在取伴下封闭且迹为零的子矩阵迹为零自伴算子空间。
• 引入两个新的色数推广：基于标准正交基正交分解的 $\chi_0$ 与基于完全有界映射的 $\chi_{0,cb}$。
• 利用希尔伯特-施密特内积定义非交换图 $\mathcal{J}$ 的正交补 $\mathcal{J}^\perp$，从而推广图的补图概念。
• 为迹为零的自伴算子空间构造卡氏积 $\mathcal{J} \Box \mathcal{K}$ 与范畴积 $\mathcal{J} \otimes \mathcal{K}$。
• 利用完全正且迹保持的映射定义非交换图之间的图同态，从而实现经典图性质的传递。
• 借助算子空间理论中的定理，包括完全有界性与部分迹映射，证明涉及色数与 theta 函数的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换图（定义为子矩阵算子系统与迹为零的自伴算子空间）的色数能否被有意义地推广？
• RQ2 是否存在洛瓦兹夹逼定理的非交换类比，即 $\theta(\mathcal{J}) \leq \chi_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp)$？
• RQ3 萨比杜西关于卡氏积色数的定理能否推广至非交换图？
• RQ4 赫德蒂尼emi关于范畴积色数的猜想能否推广至非交换图？
• RQ5 恒等式 $\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ 能否通过广义色数与团数参数推广至非交换图？

主要发现

• 本文建立了非交换洛瓦兹夹逼不等式：$\theta(\mathcal{J}) \leq \chi_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp)$，证明了正交补的色数下界由 theta 函数决定。
• 证明了萨比杜西定理的推广：对于合适的标准正交基 $v,w$，有 $\chi_{0,cb}((\mathcal{J} \Box \mathcal{K})_{v,w}) = \max\{\chi_{0,cb}(\mathcal{J}), \chi_{0,cb}(\mathcal{K})\}$。
• 范畴积的色数满足 $\chi_{0,cb}(\mathcal{J} \otimes \mathcal{K}) \leq \min\{\chi_{0,cb}(\mathcal{J}), \chi_{0,cb}(\mathcal{K})\}$，推广了赫德蒂尼emi不等式。
• 本文通过证明 $\chi_{0,cb}(\mathcal{J}) \cdot \omega_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp) \geq n$，回答了斯泰尔克的开放问题，将 $\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ 推广至非交换图。
• $\chi_0$ 与其中完全有界变体 $\chi_{0,cb}$ 分别被证明有下界与上界，分别由 theta 函数及其对偶函数控制。
• 存在满足特定正交性条件的标准正交基，使得可构造保持乘积中色数界不变的着色。