[论文解读] Chromatic Vertex Folkman Numbers

Xiaodong Xu, Meilian Liang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了色度顶点Folkman数，定义为满足在每个颜色下均保证出现单色 $K_{s}$ 的 $K_{s+1}$-无环图的最小阶数，且该图的色数为 $r$。作者构造性地证明了此类图的存在性，其色数为最小可能值 $r(s-1)+1$，并猜想对于 $F_v(s,s;s+1)$，色数恰好为 $2s-1$，表明在对角情形下构造结果的最优性。

ABSTRACT

For graph $G$ and integers $a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$, we write $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ if and only if for every $r$-coloring of the vertex set $V(G)$ there exists a monochromatic $K_{a_i}$ in $G$ for some color $i \in \{1, \cdots, r\}$. The vertex Folkman number $F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$ is defined as the smallest integer $n$ for which there exists a $K_s$-free graph $G$ of order $n$ such that $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$. It is well known that if $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ then $χ(G) \geq m$, where $m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$. In this paper we study such Folkman graphs $G$ with chromatic number $χ(G)=m$, which leads to a new concept of chromatic Folkman numbers. We prove constructively some existential results, among others that for all $r,s \ge 2$ there exist $K_{s+1}$-free graphs $G$ such that $G ightarrow (s,\cdots_r,s)^v$ and $G$ has the smallest possible chromatic number $r(s-1)+1$ for this $r$-color arrowing to hold. We also conjecture that, in some cases, our construction is the best possible, in particular that for every $s \ge 2$ there exists a $K_{s+1}$-free graph $G$ on $F_v(s,s; s+1)$ vertices with $χ(G)=2s-1$ such that $G ightarrow (s,s)^v$.

研究动机与目标

• 定义并研究色度顶点Folkman数 $F_v^\chi(a_1,\dots,a_r;s)$，即满足 Folkman 箭头条件且色数等于理论最小值 $m = 1 + \sum (a_i - 1)$ 的 $K_s$-无环图的最小阶数。
• 为所有 $r,s \geq 2$ 建立 $F_v^\chi(r,s;s+1)$ 的构造性存在性结果，表明此类图存在且色数为 $r(s-1)+1$。
• 猜想在对角情形 $F_v(s,s;s+1)$ 中，色数恰好为 $2s-1$，意味着此时最小色数Folkman数与标准Folkman数相等。
• 探讨最小Folkman图中的最小度，证明满足 $G \rightarrow (s,s)^v$ 的顶点最小 $K_{s+1}$-无环图的最小度至少为 $2s-2$，并构造出达到该下界的情况。
• 提出关于存在 $2s-2$-正则的 $K_{s+1}$-无环图，且满足顶点Folkman条件的开放问题，此类图可能为 $F_v^\chi(s,s;s+1)$ 提供替代构造。

提出的方法

• 将色度顶点Folkman数 $F_v^\chi(a_1,\dots,a_r;s)$ 定义为满足 $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$ 且 $\chi(G) = 1 + \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$ 的 $K_s$-无环图 $G$ 的最小阶数。
• 通过顶点扩展和边添加技术，构造一族色数为 $r(s-1)+1$ 的 $K_{s+1}$-无环图，使其满足 $G \rightarrow (s,\dots,s)^v$（共 $r$ 次）。
• 利用顶点最小性和边最小性假设，推导出结构约束，特别是关键顶点邻域的性质，以证明最小度的下界。
• 应用一种构造方法，将新顶点连接到包含两个不相交 $K_{s-1}$ 的邻域的 $2s-2$ 元子集，确保在任意二色染色下均出现单色 $K_s$。
• 证明在任意满足 $G \rightarrow (s,s)^v$ 且对所有 $u$ 有 $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$ 的最小图 $G$ 中，最小度 $\delta(G) \geq 2s-2$，并构造出达到等号的情况。
• 以 Ne{š}et{ř}il-R{"o}dl 构造为基础，探讨其向边染色类比和广义Folkman数的潜在推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在色数为 $2s-1$ 的 $K_{s+1}$-无环图 $G$，使得 $G \rightarrow (s,s)^v$，且 $F_v^\chi(s,s;s+1) = F_v(s,s;s+1)$？
• RQ2 能否对所有 $r,s \geq 2$ 显式构造 $F_v^\chi(r,s;s+1)$，且该构造是否达到最小色数 $r(s-1)+1$？
• RQ3 是否存在一个 $2s-2$-正则的 $K_{s+1}$-无环图，其在 $n$ 个顶点上满足 $G \rightarrow (s,s)^v$（对某个 $n$），这对 $F_v^\chi(s,s;s+1)$ 有何影响？
• RQ4 满足 $G \rightarrow (s,s)^v$ 的顶点最小 $K_{s+1}$-无环图的最小度是多少？
• RQ5 色度Folkman数的概念能否推广至避免任意图 $G_i$ 而非团 $K_{a_i}$ 的情形？

主要发现

• 本文为所有 $r,s \geq 2$ 构造了一个 $K_{s+1}$-无环图 $G$，使得 $G \rightarrow (s,\dots,s)^v$（共 $r$ 次）且 $\chi(G) = r(s-1)+1$，从而证明了 $F_v^\chi(r,s;s+1)$ 的存在性。
• 证明了任何满足 $G \rightarrow (s,s)^v$ 且对所有 $u$ 有 $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$ 的 $K_{s+1}$-无环图 $G$，其最小度至少为 $2s-2$。
• 提供了一种构造方法，得到一个 $K_{s+1}$-无环图 $G$，满足 $\delta(G) = 2s-2$，且 $G \rightarrow (s,s)^v$，同时对所有 $u$ 有 $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$，从而确认了该下界的紧致性。
• 作者猜想 $F_v^\chi(s,s;s+1) = F_v(s,s;s+1)$，即在对角情形下，最小色数Folkman数与标准顶点Folkman数相等。
• 该构造表明，若存在 $2s-2$-正则的 $K_{s+1}$-无环图且满足Folkman条件，则此类最小图的色数必恰好为 $2s-1$。
• 本文证明了任意满足 $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$ 的图 $G$ 的色数至少为 $m = 1 + \sum (a_i - 1)$，并引入了通过 $F_v^\chi$ 最小化该界的概念。