[论文解读] Chronological operator-valued Feynman-Kac formulae for generalized fractional evolutions

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

advanced mathematical theories参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过基于时间倒置 Lévy 亚正则过程的随机方法，为由任意混合 Caputo 型导数驱动的分数阶演化方程的解，建立了一个广义的时序算子值费曼-海斯公式。关键贡献在于通过反向时序指数和对亚正则路径的期望，提出了一个全新的解的积分表示，将 Mittag-Leffler 函数框架推广至时变、非交换算子设置。

ABSTRACT

We study the generalized fractional linear problem $D^ν_{a+*} f(x) =A(x)f(x)+g(x)$, where $D^ν$ is an arbitrary mixture of Caputo derivatives of order at most one and $A(x)$ a family of operators in a Banach space generating strongly continuous semigroups. For time homogeneous case, when $A(x)$ does not depend on time $x$, the solution is expressed by the generalized operator-valued Mittag-Leffler function. For the more involved time-dependent case we use the method of non-commutative operator-valued Feynman-Kac formula in combination with the probabilistic interpretation of Caputo derivatives suggested recently by the author to find the general integral representation of the solutions, which are new even for the case of the standard Caputo derivative $D^β_{a+*}$. In the point of view adopted here we analyse the fractional equations not as some 'exotic evolutions', but rather as 'standard' stationary problems leading to the stationary non-commutative operator-valued Feynman-Kac representation.

研究动机与目标

• 为具有时变、非交换算子系数的广义分数阶演化方程的解，发展一种概率积分表示。
• 将经典的算子值费曼-海斯公式推广至通过时间倒置 Lévy 亚正则过程定义的广义分数阶导数设置。
• 通过将分数阶演化解释为非交换、时序指数框架下的平稳问题，统一处理分数阶演化。
• 将 Mittag-Leffler 函数推广至时齐情形的算子值设置，并通过随机过程将其扩展至时非齐情形。
• 为巴拿赫空间中涉及广义分数阶导数的边值问题提供严格的解框架，应用于薛定谔方程和 Feller 型方程。

提出的方法

• 利用时间倒置 Lévy 亚正则过程对 Caputo 导数的概率解释，将广义分数阶导数 $ D^{( u)}_{a+*} $ 定义为子序过程的生成元。
• 应用反向时序指数 $ T\exp\left\{\int_t^s A_\tau d\tau\right\} $ 表示非交换 $ A(x) $ 的传播算子 $ U^{t,s} $，替代标准矩阵指数。
• 将方程 $ D^{( u)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ 的解表示为对子序过程首次通过时间 $ \sigma_a $ 的期望：$ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} e^{-\lambda s} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} g(Z_x(t)) dt $。
• 通过亚正则过程的转移密度 $ G_{(\nu)}(t,dy) $ 引入广义算子值 Mittag-Leffler 函数 $ E_{(\nu),z}(A) $，定义为 $ \int_0^\infty e^{tA} \frac{\partial}{\partial t} \left( \int_z^\infty G_{(\nu)}(t,dy) \right) dt $。
• 通过时间改变过程 $ Z_x(t) $ 构造时变 $ A(x) $ 的解，其中时间改变由具有 Lévy 测度 $ \nu $ 的亚正则过程控制，并在此时间改变框架下应用费曼-海斯公式。
• 在压缩半群假设下，利用逼近和对偶技术证明广义解的存在性与唯一性，并证明在划分细化极限下时序指数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将算子值费曼-海斯公式推广至包含任意混合 Caputo 导数的分数阶演化方程？
• RQ2 通过时间倒置 Lévy 亚正则过程定义的广义分数阶导数的概率解释是什么？
• RQ3 当生成元 $ A(x) $ 为时变且非交换时，如何利用时序指数表示解？
• RQ4 算子值、时非齐情形下的广义 Mittag-Leffler 函数的结构是什么？
• RQ5 在巴拿赫空间中，广义分数阶柯西问题的解在何种条件下存在且唯一？

主要发现

• 在压缩半群假设下，广义分数阶演化方程 $ D^{( u)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ 的解表示为 $ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} (A(Z_x(s))Y + g(Z_x(s))) ds $，其中 $ Y = f_a $。
• 对于时齐情形 $ A $，解通过广义算子值 Mittag-Leffler 函数 $ E_{(\nu),x-a}(A)Y $ 表示，其通过亚正则过程的转移密度定义。
• 通过将问题嵌入时间改变的随机过程 $ Z_x(t) $ 中，广义费曼-海斯公式可推广至时变 $ A(x) $，其中时间被 Lévy 亚正则过程（具有 Lévy 测度 $ \nu $）所亚正则化。
• 反向时序指数 $ T\exp\left\{\int_s^t A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} $ 解决了反向柯西问题 $ \dot{f}_s = -A(Z_x(s))f_s $，其终端条件为 $ f_t $，即使 $ A $ 在时间上不连续亦成立。
• 在由 $ A(x) $ 生成的半群为压缩算子的假设下，通过逼近或对偶方法，该解公式对任意有界可测函数 $ g: [a,\infty) \to B $ 均给出广义解。
• 具体应用包括具有时变哈密顿量的广义分数阶薛定谔方程和 Feller 过程，其中解公式通过傅里叶变换和转移密度提供了显式的积分表示。