[论文解读] Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands

Laurent Lafforgue|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文通过德林费尔德的希图卡（Drinfeld's shtukas）几何实现自守表示，并应用亚瑟-塞尔伯格迹公式，证明了函数域上 GL_r 的朗兰兹对应。关键结果建立了秩为 r 且行列式有限的不可约 ℓ-进伽罗瓦表示与 GL_r 的 cuspidal 自守表示之间的双射，对正特征情形下的拉马努金-彼得森猜想与广义黎曼假设的类比具有深远影响。

ABSTRACT

Cet exposé est consacré à la preuve de la correspondance de Langlands pour les groupes $\GL_r$ sur les corps de fonctions. ----- This article is devoted to the proof of the Langlands correspondence for the groups $GL_r$ over function fields.

研究动机与目标

• 建立全局函数域 F = F(X) 上 GL_r 的全局朗兰兹对应，将不可约 ℓ-进伽罗瓦表示（秩为 r）与 GL_r 的 cuspidal 自守表示联系起来。
• 证明不可约 ℓ-进伽罗瓦表示（行列式有限）可通过几何朗兰兹程序从自守形式中构造出来。
• 利用上同调方法验证函数域设定下 L-函数的拉马努金-彼得森猜想与广义黎曼假设。
• 在朗兰兹对应的自守侧建立张量积、基底扩张与自守诱导的存在性。

提出的方法

• 利用德林费尔德的希图卡作为带水平结构的希图卡模空间，从自守形式构造伽罗瓦表示。
• 将亚瑟-塞尔伯格迹公式应用于希图卡簇的上同调，将迹计数与自守及伽罗瓦数据关联起来。
• 利用希图卡模空间的 ℓ-进上同调，将自守表示实现为上同调不变量。
• 使用格罗滕迪克-莱夫谢茨不动点公式，将上同调上的弗罗贝尼乌斯迹与 L-函数及赫克特征值关联。
• 应用戴尔涅的纯度定理，证明不可约 ℓ-进层上弗罗贝尼乌斯特征值的绝对值为 1，从而推出酉性。
• 通过迹公式的谱侧构造对应关系，借助 L-函数的匹配将自守表示与伽罗瓦表示对应起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用几何与上同调方法建立函数域上 GL_r 的全局朗兰兹对应？
• RQ2 不可约 ℓ-进伽罗瓦表示（秩为 r，行列式有限）与 GL_r(A_F) 的 cuspidal 自守表示之间的确切关系是什么？
• RQ3 迹公式与希图卡簇的上同调如何实现自守数据与伽罗瓦数据之间的对应？
• RQ4 该对应关系对函数域设定下拉马努金-彼得森猜想与广义黎曼假设的后果是什么？
• RQ5 如何通过几何朗兰兹对应在自守侧实现基底扩张、诱导与张量积？

主要发现

• GL_r 在函数域上的朗兰兹对应成立：不可约 ℓ-进伽罗瓦表示（秩为 r，行列式有限）与 GL_r(A_F) 的 cuspidal 自守表示之间存在双射。
• 拉马努金-彼得森猜想成立：对所有 x ∈ |X|，cuspidal 自守表示的赫克特征值满足 |z_i(π_x)| = 1（当未分歧时）。
• 广义黎曼假设成立：全局 L-函数 L(π × π', T) 的所有零点均位于临界线 |T| = q^{-1/2} 上。
• 两个 cuspidal 自守表示的张量积可分解为有限个 cuspidal 自守表示的和，且局部 L-因子匹配。
• 基底扩张与自守诱导得以实现：给定有限扩张 F'/F，GL_r(A_F) 上的 cuspidal 自守表示可上延为 GL_r(A_F') 上的自守表示，且弗罗贝尼乌斯特征值匹配。
• 希图卡簇的上同调将不可约伽罗瓦表示实现为上同调不变量，其弗罗贝尼乌斯特征值为绝对值为 1 的代数数，从而证明了纯度与酉性。