[论文解读] Circle and torus actions on equal symplectic blow-ups of CP^2

Yael Karshon, Liat Kessler|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 12

一句话总结

该论文建立了在何种尖锐的拓扑与辛条件下，对 $\mathbb{C}P^2$ 的等尺寸辛爆破（symplectic blow-ups）会允许有效的圆或环面作用。通过使用势函数图理论、等变辛爆破下拉（equivariant symplectic blow-downs）以及 Delzant 分类，证明了当 $k \leq 3$ 时，$k$ 个等尺寸的 $\mathbb{C}P^2$ 辛爆破允许哈密顿环面作用；当 $(k-1)\epsilon < 1$ 时允许圆作用，且当 $1/\epsilon$ 为整数时，这两个界限均为最优。

ABSTRACT

A manifold obtained by k simultaneous symplectic blow-ups of CP^2 of equal sizes epsilon (where the size of CP^1 \subset CP^2 is one) admits an effective two dimensional torus action if k &lt;= 3 and admits an effective circle action if (k-1)epsilon &lt; 1. We show that these bounds are sharp if 1/epsilon is an integer.

研究动机与目标

• 确定 $\mathbb{C}P^2$ 的等尺寸辛爆破中，最多可允许多少次有效环面或圆作用。
• 建立允许此类作用存在的爆破尺寸 $\epsilon$ 的尖锐上界。
• 利用辛拓扑与等变拓扑证明：当 $1/\epsilon$ 为整数时，这些界限是最优的。
• 证明：在爆破流形上存在圆或环面作用，意味着其具有特定的等变结构，通过辛爆破下拉可实现。
• 通过构造显式反例，解决关于某些爆破上不存在圆作用的问题。

提出的方法

• 应用 Delzant 定理，通过其势函数图像（即 Delzant 多面体）对辛扭 manifold 进行分类。
• 利用势函数图与 Morse-Bott 理论分析圆作用下的不动点集与 $\mathbb{Z}_k$-球面。
• 构造一个标记图不变量，编码不动点数据（取值、大小、亏格），以在等变辛同胚下对哈密顿圆作用进行分类。
• 证明每个爆破中的例外除子类 $E_i$ 是不可约的，并通过交积的正性，证明其支持唯一的 $G$-不变辛球面。
• 沿 $G$-不变的例外球面执行等变辛爆破下拉，将流形约化为具有标准辛形式的 $\mathbb{C}P^2$。
• 利用每次爆破下拉后第二贝蒂数减一、体积增加 $\pi^2\epsilon^2$ 的事实，通过反向过程重建原始流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于多少次等尺寸的 $\mathbb{C}P^2$ 辛爆破，存在哈密顿环面作用？
• RQ2 允许哈密顿圆作用的等尺寸辛爆破的最大尺寸 $\epsilon$ 是多少？
• RQ3 当 $1/\epsilon$ 为整数时，$k$ 与 $\epsilon$ 的界限是否为尖锐的？
• RQ4 对于具有四个大小为 $1/3$ 的例外除子的 $\mathbb{C}P^2$ 的爆破流形，其辛形式是否可能允许任何圆作用？
• RQ5 在爆破流形上存在圆作用，是否意味着其辛形式等价于标准形式？

主要发现

• 由 $k$ 个等尺寸辛爆破得到的辛流形允许有效哈密顿环面作用，当且仅当 $k \leq 3$。
• 同一流形允许有效哈密顿圆作用，当且仅当 $(k-1)\epsilon < 1$，其中 $\epsilon$ 为每次爆破的尺寸。
• 当 $1/\epsilon$ 为整数时，$k$ 与 $\epsilon$ 的界限是尖锐的：不存在更大的 $k$ 或更大的 $\epsilon$ 允许此类作用。
• 当 $k=4$ 且 $\epsilon=1/3$ 时，爆破流形存在辛形式与圆作用，但没有任何辛形式被任何圆作用所保持。
• 爆破中每个例外除子类 $E_i$ 支持唯一的 $G$-不变辛球面，且这些球面两两不相交且 $G$-不变。
• 沿这些球面执行等变辛爆破下拉的逆过程，可重建原始的 $\mathbb{C}P^2$ 及其标准辛形式，从而证明了分类结果。