[论文解读] Circuit Complexity and Decompositions of Global Constraints

Christian Bessière, George Katsirelos+2 more|ArXiv.org|May 22, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 23被引用 56

一句话总结

本文建立了电路复杂度与全局约束转换为合取范式（CNF）的可分解性之间的正式联系。证明了当且仅当其可通过多项式大小的单调布尔电路计算时，全局约束的域一致性传播器才具有多项式大小的CNF分解。关键结果是，由于二分图完美匹配的单调电路复杂度存在超多项式下界，AllDifferent约束的域一致性传播器无法被分解为多项式大小的CNF。

ABSTRACT

We show that tools from circuit complexity can be used to study decompositions of global constraints. In particular, we study decompositions of global constraints into conjunctive normal form with the property that unit propagation on the decomposition enforces the same level of consistency as a specialized propagation algorithm. We prove that a constraint propagator has a a polynomial size decomposition if and only if it can be computed by a polynomial size monotone Boolean circuit. Lower bounds on the size of monotone Boolean circuits thus translate to lower bounds on the size of decompositions of global constraints. For instance, we prove that there is no polynomial sized decomposition of the domain consistency propagator for the ALLDIFFERENT constraint.

研究动机与目标

• 确定在不损失传播强度的前提下，将全局约束分解为CNF的极限。
• 理解哪些全局约束能够接受高效、多项式大小的CNF编码，从而通过单位传播保持域一致性。
• 应用电路复杂度领域的工具，建立此类分解大小的下界。
• 将这些结果扩展到具有有界元数的CSP约束分解，其定义域为显式表示。
• 探讨更表达性强的约束表示形式（如使用界来编码大定义域）的含义。

提出的方法

• 将传播器形式化为变量定义域上的单调、压缩且幂等的函数。
• 将一致性检查器定义为单调布尔函数，当在给定定义域下存在解时返回1。
• 从CNF分解构造分层单调布尔电路，使得在CNF上的单位传播对应于电路的计算。
• 证明单位传播施加的约束一致性程度与原始传播器相同，当且仅当电路计算相同的函数。
• 利用已知的单调电路复杂度下界——特别是Razborov对二分图完美匹配的超多项式下界——推导出CNF分解大小的下界。
• 将结果扩展到具有有界元数约束和显式定义域的CSP分解，表明它们可被转化为多项式大小的CNF。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些全局约束能够接受保持单位传播下域一致性的多项式大小CNF分解？
• RQ2 约束传播器的计算复杂度与其CNF分解大小之间有何关系？
• RQ3 能否利用电路复杂度理论证明全局约束CNF分解大小的下界？
• RQ4 是否存在将AllDifferent等全局约束分解为CNF时的固有极限，而不会导致指数级膨胀？
• RQ5 这些结果能否扩展到更表达性强的约束表示形式，例如使用界来编码大定义域？

主要发现

• 当且仅当其可通过多项式大小的单调布尔电路计算时，全局约束的域一致性传播器才具有多项式大小的CNF分解。
• 由于Razborov对二分图完美匹配的单调电路存在超多项式下界，AllDifferent约束的域一致性传播器无法被分解为多项式大小的CNF。
• 该结果可推广至AllDifferent的推广形式，如全局基数约束（GCC）。
• 具有有界元数和显式定义域的CSP分解可被转化为多项式大小的CNF，因此适用相同的下界。
• AllDifferent的界一致性和范围一致性传播器可被分解，表明限制仅存在于域一致性。
• 作者推测，AllDifferent的域一致性传播器无法被分解为基于界表示的约束，原因在于单调算术电路中存在类似的下界。