[论文解读] Circuit Extraction for ZX-Diagrams Can Be #P-Hard

Niel de Beaudrap, Aleks Kissinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Formal Methods in Verification被引用 5

一句话总结

本文证明了从酉ZX图中提取电路是#P难的，表明在标准复杂性假设下，将任意ZX图高效转换为等价量子电路是不可行的。作者将#SAT问题归约到电路提取，表明若存在多项式时间的提取算法，将导致P = NP。

ABSTRACT

The ZX-calculus is a graphical language for reasoning about quantum computation using ZX-diagrams, a certain flexible generalisation of quantum circuits that can be used to represent linear maps from $m$ to $n$ qubits for any $m,n \geq 0$. Some applications for the ZX-calculus, such as quantum circuit optimisation and synthesis, rely on being able to efficiently translate a ZX-diagram back into a quantum circuit of comparable size. While several sufficient conditions are known for describing families of ZX-diagrams that can be efficiently transformed back into circuits, it has previously been conjectured that the general problem of circuit extraction is hard. That is, that it should not be possible to efficiently convert an arbitrary ZX-diagram describing a unitary linear map into an equivalent quantum circuit. In this paper we prove this conjecture by showing that the circuit extraction problem is #P-hard, and so is itself at least as hard as strong simulation of quantum circuits. In addition to our main hardness result, which relies specifically on the circuit representation, we give a representation-agnostic hardness result. Namely, we show that any oracle that takes as input a ZX-diagram description of a unitary and produces samples of the output of the associated quantum computation enables efficient probabilistic solutions to NP-complete problems.

研究动机与目标

• 研究将酉ZX图转换为等价量子电路的计算复杂性。
• 确定在无结构性限制的情况下，是否可以实现高效的电路提取。
• 确定已知的高效提取方法是否依赖于限制性结构条件。
• 探讨电路提取困难性对量子计算与模拟的含义。

提出的方法

• 通过将布尔公式编码为酉ZX图，将#SAT问题归约到电路提取。
• 构建了ZX图，使得提取出多项式大小的电路即可解决相应的#SAT实例。
• 采用与表示无关的论证：任何能够从酉ZX图中采样的预言机，均可概率性地解决NP完全问题。
• 利用ZX演算的等式理论和完备性，确保编码的语义正确性。
• 证明了与酉矩阵成比例的后选择电路难以转换为非后选择电路。
• 分析了含辅助量子比特、经典控制和近似合成的变体，表明其仍为#P难。

实验结果

研究问题

• RQ1 从酉ZX图中提取电路是否为#P难？
• RQ2 在不依赖流动或广义流动等结构性限制的条件下，能否实现高效的电路提取？
• RQ3 量子电路中存在后选择是否意味着酉电路提取具有固有难度？
• RQ4 能够从酉ZX图中采样的经典预言机是否能解决NP完全问题？
• RQ5 电路提取的困难性是源于后选择，还是源于底层的酉性约束？

主要发现

• 从酉ZX图中提取电路是#P难的，意味着除非P = NP，否则不存在多项式时间算法。
• 即使允许使用辅助量子比特、经典控制或近似合成，#P难性依然成立。
• 任何能够从酉ZX图中采样的预言机，均可概率性地解决NP完全问题。
• 困难性并非源于后选择本身，因为后选择结果的发生概率有界且与大小无关。
• 该结果意味着高效电路提取需要结构性承诺，例如存在流动或广义流动。
• 即使考虑确定性测量模式，困难性依然存在，尽管该证明不直接适用于此类情况。