[论文解读] Circuit Lower Bounds for the p-Spin Optimization Problem

David Gamarnik, Aukosh Jagannath+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

该论文为产生 $p$-自旋优化问题近似最优解的多项式大小布尔电路建立了电路深度下界 $\log n / (2\log\log n)$，该问题的耦合项为 Rademacher 分布。该结果利用了重叠间隙性质（OGP）与通过 Linial-Mansour-Nisan 定理实现的傅里叶分析，标志着针对需要完整解输出而非仅决策答案的组合优化问题，目前最强的深度下界。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a near ground state of a $p$-spin model with Rademacher couplings by means of a low-depth circuit. As a direct extension of the authors' recent work [Gamarnik, Jagannath, Wein 2020], we establish that any poly-size $n$-output circuit that produces a spin assignment with objective value within a certain constant factor of optimality, must have depth at least $\log n/(2\log\log n)$ as $n$ grows. This is stronger than the known state of the art bounds of the form $Ω(\log n/(k(n)\log\log n))$ for similar combinatorial optimization problems, where $k(n)$ depends on the optimality value. For example, for the largest clique problem $k(n)$ corresponds to the square of the size of the clique [Rossman 2010]. At the same time our results are not quite comparable since in our case the circuits are required to produce a solution itself rather than solving the associated decision problem. As in our earlier work, the approach is based on the overlap gap property (OGP) exhibited by random $p$-spin models, but the derivation of the circuit lower bound relies further on standard facts from Fourier analysis on the Boolean cube, in particular the Linial-Mansour-Nisan Theorem. To the best of our knowledge, this is the first instance when methods from spin glass theory have ramifications for circuit complexity.

研究动机与目标

• 为解决具有 Rademacher 耦合项的 $p$-自旋优化问题的多项式大小布尔电路建立紧致的电路深度下界。
• 通过利用重叠间隙性质（OGP），将先前针对低次多项式算法的结果推广至一般布尔电路。
• 证明必须具有至少 $\log n / (2\log\log n)$ 深度的电路才能在常数因子范围内输出最优解的完整自旋赋值。
• 表明自旋玻璃理论中的方法，尤其是系综重叠间隙性质（e-OGP），对电路复杂性具有直接启示。
• 提供一个可推广至其他表现出 OGP 特性的模型的框架，推动优化领域电路复杂性的前沿研究。

提出的方法

• 利用系综重叠间隙性质（e-OGP）刻画具有 Rademacher 耦合项的 $p$-自旋模型中近似最优自旋赋值的结构。
• 应用 Linial-Mansour-Nisan 定理，表明低深度电路仅能产生傅里叶展开集中在低次项上的输出。
• 采用连续性论证与对称化方法，限制相关实例间哈密顿量差异的最大偏差。
• 利用 McDiarmid 不等式与 Talagrand 比较不等式，控制自旋构型上最大哈密顿量差异的次高斯行为。
• 对 $O(n^{2p})$ 对时间索引应用并集界，推导出相关实例间最大哈密顿量波动的统一界。
• 依赖普适性论证，将结果从高斯分布耦合项推广至 Rademacher 分布耦合项，确保 OGP 在分布变化下的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式大小布尔电路在 $p$-自旋模型中产生与最优目标值在常数因子范围内的自旋赋值，其最小深度是多少？
• RQ2 重叠间隙性质（OGP）能否用于推导需要完整解输出的优化问题的电路复杂性下界？
• RQ3 在组合优化中，解输出电路的深度需求与仅需决策的电路相比如何？
• RQ4 在布尔立方体上进行傅里叶分析，特别是 Linial-Mansour-Nisan 定理，能在多大程度上排除低深度电路在优化任务中的可能性？
• RQ5 基于 OGP 的方法能否推广至稀疏随机图模型？现有电路不敏感性定理在这些设置下的局限性是什么？

主要发现

• 任何产生 $p$-自旋模型中与最优目标值在常数因子范围内的自旋赋值的多项式大小 $n$ 输出布尔电路，其深度至少为 $\log n / (2\log\log n)$。
• 该下界与最优性差距无关，与以往结果（如团问题）不同，后者依赖于 $k(n)^2$，其中 $k(n)$ 为团的大小。
• 该结果强于现有同类问题的最先进界，因为它适用于解查找电路而非决策问题。
• 该证明依赖于系综重叠间隙性质（e-OGP），该性质确保近似最优解的重叠要么很高，要么很低，从而排除了中间重叠的可能性。
• Linial-Mansour-Nisan 定理被用于证明低深度电路无法产生与 e-OGP 结构相矛盾的傅里叶展开输出。
• 这是首次将自旋玻璃理论（特别是 OGP）应用于电路复杂性，建立了统计物理与计算复杂性之间全新的桥梁。