[论文解读] Circuits with arbitrary gates for random operators

Stasys Jukna, Georg Schnitger|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过使用柯尔莫哥洛夫复杂度和信息论论证，建立了使用任意门计算随机和线性布尔运算符的电路复杂度的强下界。结果表明，几乎所有n-运算符在通用电路中都需要Ω(n²)根线；当中间层或输出门被限制为线性函数时，线性运算符在深度为2的电路中需要Ω(n²/log n)根线，使用了柯尔莫哥洛夫复杂度和信息论论证。

ABSTRACT

We consider boolean circuits computing n-operators f:{0,1}^n --> {0,1}^n. As gates we allow arbitrary boolean functions; neither fanin nor fanout of gates is restricted. An operator is linear if it computes n linear forms, that is, computes a matrix-vector product y=Ax over GF(2). We prove the existence of n-operators requiring about n^2 wires in any circuit, and linear n-operators requiring about n^2/\log n wires in depth-2 circuits, if either all output gates or all gates on the middle layer are linear.

研究动机与目标

• 为解决一个开放问题：当允许使用任意门时，随机n-运算符是否需要大小为二次方的电路。
• 分析在门类型受限制的深度-2电路中，GF(2)上线性运算符f_A(x) = Ax的复杂度。
• 使用不可压缩性和信息论技术，建立线数的紧致下界。
• 表明即使允许使用任意门，某些运算符本质上仍需要接近二次方的布线。

提出的方法

• 使用计数论证，对使用L根线可计算的n-运算符数量进行上界估计，表明L必须为Ω(n²)才能覆盖全部2^{n2^n}个运算符。
• 基于柯尔莫哥洛夫复杂度应用不可压缩性论证，表明某些矩阵A需要n²比特来描述，从而暗示高电路复杂度。
• 将电路分析限制在深度-2结构中，并假设无直接的输入到输出连线，以简化编码。
• 通过存储邻接矩阵B和C以及输出函数在像子空间基向量上的行为，使用O(L log n)比特编码电路。
• 利用输出函数在像子空间上的线性性质，从基向量上的取值重建完整运算符。
• 利用线性函数在子空间上可由其在基上的取值完全描述的性质，从而减少描述长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在允许使用任意门的一般电路中，随机n-运算符是否需要Ω(n²)根线？
• RQ2 当所有中间层门为线性时，在深度-2电路中，线性运算符f_A(x) = Ax over GF(2)是否能用o(n²/log n)根线计算？
• RQ3 即使在中间层允许使用任意门，线性运算符在深度-2电路中的复杂度是否本质上很高？
• RQ4 信息论或柯尔莫哥洛夫复杂度论证是否能在一般电路模型中建立强下界？
• RQ5 在具有门类型结构约束的深度-2电路中，计算随机或线性运算符所需的最小线数是多少？

主要发现

• 对于几乎所有n-运算符，最小线数s(f)为Ω(n²)，表明即使使用任意门，二次方复杂度也是必需的。
• 当所有输出门为线性时，线性n-运算符在深度-2电路中需要Ω(n²/log n)根线。
• 当所有中间层门为线性时，线性n-运算符在深度-2电路中需要Ω(n²/log n)根线。
• 该下界在假设电路不使用直接输入到输出连线的前提下成立，这对最优电路而言不失一般性。
• 证明技术依赖于使用O(L log n)比特编码电路，其中L为线数，并将其与矩阵A的柯尔莫哥洛夫复杂度进行比较。
• 作者推测，即使在深度-2电路中不限制门类型，相同的Ω(n²/log n)下界仍然成立。