[论文解读] Circular flows for the Euler equations in two-dimensional annular domains

François Hamel, Nikolaï Nadirashvili|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文建立了二维环形区域中定常欧拉流的径向对称性结果，证明在刚性壁边界条件下且无驻点时，流场必为圆形（流线为同心圆）。此外，通过新颖的比较原理与由流函数导出的半线性椭圆方程的平移平面法，对常速边界条件迫使区域为圆或环形的自由边界问题进行了分类。

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in two-dimensional bounded annuli, as well as in exterior circular domains, in punctured disks and in the punctured plane. We always assume rigid wall boundary conditions. We prove that, if the flow does not have any stagnation point, and if it satisfies further conditions at infinity in the case of an exterior domain or at the center in the case of a punctured disk or the punctured plane, then the flow is circular, namely the streamlines are concentric circles. In other words, the flow then inherits the radial symmetry of the domain. The proofs are based on the study of the trajectories of the flow and the orthogonal trajectories of the gradient of the stream function, which is shown to satisfy a semilinear elliptic equation in the whole domain. In exterior or punctured domains, the method of moving planes is applied to some almost circular domains located between some streamlines of the flow, and the radial symmetry of the stream function is shown by a limiting argument. The paper also contains two Serrin-type results in simply or doubly connected bounded domains with free boundaries. Here, the flows are further assumed to have constant norm on each connected component of the boundary and the domains are then proved to be disks or annuli.

研究动机与目标

• 确定在何种几何与边界条件下，环形区域中的定常欧拉流必为径向对称（即圆形）。
• 对常速边界条件迫使区域为圆或环形的自由边界问题进行分类。
• 为双连通区域中的半线性椭圆方程建立新的比较原理，以证明对称性结果。
• 将Liouville型与Serrin型定理推广至具有适当衰减或正则性条件的无界域与穿孔域。

提出的方法

• 将平移平面法适配于流线之间的近似圆形区域，以证明流函数的径向对称性。
• 将流函数视为由欧拉方程导出的半线性椭圆方程的解进行分析。
• 运用常微分方程与偏微分方程技术，研究流函数梯度的轨迹及其正交轨迹。
• 在小区域中应用强最大值原理与弱最大值原理，以在平移平面法中导出矛盾。
• 施加边界条件：边界上为切向流（刚性壁），边界分量上为常速，以及在无穷远点或原点处的衰减/无穷条件。
• 在平移平面法中使用极限论证，证明对称性可延拓至极限，从而证明完整的径向对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维环形区域中，定常欧拉流在何种条件下会变为圆形（即流线为同心圆）？
• RQ2 能否求解欧拉方程的自由边界问题，使得常速边界条件迫使区域为圆或环形？
• RQ3 在双连通区域中，可为半线性椭圆方程建立何种比较原理，以证明对称性结果？
• RQ4 平移平面法如何应用于非精确对称但流线之间近似为圆形的区域？

主要发现

• 在有界环形区域、穿孔圆盘、无界外部区域及穿孔平面上，若定常欧拉流无驻点且满足切向边界条件，则其必为圆形流场。
• 在单连通或双连通区域的自由边界问题中，若流场在每个边界分量上具有常速，则区域必为圆或环形。
• 在所述条件下，流函数及其等值线（流线）具有径向对称性，表明流场继承了区域的径向对称性。
• 在双连通区域中，为半线性椭圆方程建立了一项新的比较原理，该原理对通过平移平面法证明对称性至关重要。
• 通过极限论证与小区域估计，成功将平移平面法适配于流线之间的区域，即使区域并非精确对称亦成立。