[论文解读] Circular hydraulic jump in generalized-Newtonian fluids

Ashutosh Rai, B. S. Dandapat+1 more|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Rheology and Fluid Dynamics Studies被引用 4

一句话总结

本文采用Ostwald-de Waele的幂律模型，对广义牛顿流体中的层流圆形水跃（CHJs）进行了理论研究，将Watson对牛顿流体的经典理论扩展至非牛顿流体。推导出流动剖面的精确表达式及跃迁半径的隐式代数方程，表明剪切稀化流体（n < 1）表现出更早的粘性效应和更小的跃迁半径，而剪切增稠流体（n > 1）则延迟动量损失并增大跃迁半径。

ABSTRACT

We carry out an analytical study of laminar circular hydraulic jumps, in generalized-Newtonian fluids obeying the two-parametric power-law model of Ostwald-de Waele. Under the boundary-layer approximation we obtained exact expressions determining the flow, an implicit relation for the jump radius is derived. Corresponding results for Newtonian fluids can be retrieved as a limiting case for the flow behavior index n=1, predictions are made for fluids deviating from Newtonian behavior.

研究动机与目标

• 将经典圆形水跃理论从牛顿流体推广至由幂律模型控制的广义牛顿流体。
• 研究Ostwald-de Waele模型中的流变行为指数（n）如何影响边界层发展与跃迁半径。
• 将表面张力效应纳入小半径水跃的动量平衡，以提高对I型稳态的预测精度。
• 为非牛顿流体中的径向速度、自由表面高度和边界层厚度推导精确的解析表达式。
• 建立统一框架，当n = 1时退化为Watson的牛顿流体结果，从而实现对非牛顿流体的预测。

提出的方法

• 对薄径向扩展层中轴对称、层流的幂律流体流动应用边界层近似。
• 采用幂律模型 τ = K(∂u/∂z)^n 描述剪切速率依赖的粘度，其中K为一致指数，n为流变行为指数。
• 通过相似性变换，推导出径向速度剖面U(r)、自由表面高度h(r)和边界层厚度δ(r)的精确解析解。
• 在跃迁处建立动量平衡，引入由表面张力产生的径向力 F_c = -2πσΔH，其中ΔH = H - h(r_j)。
• 将表面张力修正项纳入Watson的动量定理，导出跃迁半径r_j的隐式代数方程。
• 通过考虑两种情形求解所得隐式方程：跃迁发生在边界层起始前（r_j ≤ r_b）和之后（r_j ≥ r_b）。

实验结果

研究问题

• RQ1 幂律模型中的流变行为指数n如何影响圆形水跃中径向速度、厚度和自由表面高度的发展？
• RQ2 广义牛顿流体中跃迁半径的解析表达式是什么？与牛顿流体的Watson结果有何不同？
• RQ3 表面张力如何影响小尺度CHJs的跃迁半径？如何将其一致地纳入动量平衡？
• RQ4 在何种条件下边界层分离主导动力学行为？这对简化动量模型的有效性有何影响？
• RQ5 经典Watson理论能否推广至非牛顿流体，同时保持与I型和II型稳态实验观测的一致性？

主要发现

• 为幂律流体的径向速度剖面、自由表面高度和边界层厚度推导出显式解析解，其函数形式精确依赖于r和n。
• 对于剪切稀化流体（n = 0.8），粘性效应更早传播至自由表面，导致动量更快损失，跃迁半径小于牛顿流体（n = 1）。
• 对于剪切增稠流体（n = 1.2），粘性效应被延迟，动量损失减少，跃迁半径大于牛顿流体。
• 所推导的跃迁半径r_j隐式方程在n = 1极限下退化为Watson的结果，证实与经典理论的一致性。
• 引入表面张力修正项（F_c = -2πσΔH）显著改善了对小半径、低高度水跃的实验预测一致性，尤其在I型稳态中表现更优。
• 模型预测：在固定射流雷诺数下，剪切稀化流体的跃迁半径小于牛顿流体，而剪切增稠流体的跃迁半径则更大。