[论文解读] Clamping and Synchronization in the strongly coupled FitzHugh-Nagumo model

Cristóbal Quiñinao, Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文研究了在强耦合极限下，强耦合 FitzHugh-Nagumo 神经网络的平均场动力学，通过 Hopf-Cole 变换表明，解会集中在以时变点为中心的奇异 Dirac 测度上。关键结果是出现了钳位或同步行为——对应于稳定不动点或周期轨道——与底层确定性 FitzHugh-Nagumo 系统的动力学相一致。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of a limit of interacting FitzHugh-Nagumo neurons in the regime of large interaction coefficients. We consider the dynamics described by a mean-field model given by a nonlinear evolution partial differential equation representing the probability distribution of one given neuron in a large network. The case of weak connectivity previously studied displays a unique, exponentially stable, stationary solution. Here, we consider the case of strong connectivities, and exhibit the presence of possibly non-unique stationary behaviors or non-stationary behaviors. To this end, using Hopf-Cole transformation, we demonstrate that the solutions exponentially concentrate around a singular Dirac measure as the connectivity parameter diverges, centered at the zeros of a time-dependent continuous function. We next characterize the points at which this measure concentrates, and exhibit a particular solution corresponding to a Dirac measure concentrated on a time-dependent point satisfying an ordinary differential equation identical to the original FitzHugh-Nagumo system. This solution may thus feature multiple stable fixed points or periodic orbits, respectively corresponding to a clumping of the whole system at rest, or a synchronization of cells on a periodic solution. We illustrate these results with numerical simulations of neural networks with a relatively modest number of neurons and finite coupling strength, and show that away from the bifurcations of the limit system, the asymptotic equation recovers the main properties of more realistic networks.

研究动机与目标

• 理解具有强电耦合的大规模神经网络的动力学，特别是耦合强度发散极限下的行为。
• 表征强耦合 FitzHugh-Nagumo 神经元在平均场极限下非唯一稳态或非稳态行为的出现。
• 建立系统表现出钳位（集中在静息状态）或同步（周期性集体行为）的条件。
• 通过截断方法将理论分析扩展至非全局利普希茨漂移，从而处理经典 FitzHugh-Nagumo 模型。
• 通过与中等规模网络的数值模拟对比，弥合平均场 PDE 与有限网络动力学之间的差距。

提出的方法

• 为大规模强电耦合网络中单个神经元的概率分布建立平均场 PDE。
• 应用 Hopf-Cole 变换分析耦合参数 ε → 0 时解的集中行为。
• 证明解在以时间依赖函数零点为中心的 Dirac 测度附近呈指数集中。
• 识别出一种特殊解，其中 Dirac 测度集中在满足原始 FitzHugh-Nagumo ODE 的时变点上。
• 使用截断技术处理 FitzHugh-Nagumo 系统中的非全局利普希茨漂移。
• 通过中等规模网络在强耦合和非集中初始条件下的数值模拟验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大耦合极限下，平均场 PDE 的稳态解如何表现，是否可能出现多个稳定解？
• RQ2 在何种条件下系统表现出同步行为，对应于周期性集体动力学？
• RQ3 极限动力学能否捕捉到强耦合下有限尺寸网络的本质特征，尤其是在分岔点之外？
• RQ4 取大网络规模与大耦合极限的顺序是否可交换，这对系统长期行为有何影响？
• RQ5 对于小但非零的耦合强度，极限系统中的周期解是否能持续存在，需要何种方法证明其稳定性？

主要发现

• 当耦合参数 ε → 0 时，平均场 PDE 的解呈指数集中于奇异 Dirac 测度。
• Dirac 测度集中在时间依赖连续函数的零点上，该函数满足与原始 FitzHugh-Nagumo 系统完全相同的 ODE。
• 存在一种特殊解，系统在周期轨道上同步或在不动点处钳位，对应于集体静息或振荡状态。
• 中等规模有限网络的数值模拟在强耦合条件下重现了渐近极限方程预测的主要动力学特征。
• 集中过程发生迅速，其形式为 e^{-γt/ε}，表明存在一种主动约束，使电压保持在与网络平均值的 ε 范围内。
• 对于 ε > 0，极限系统中存在多个稳定解或周期解的问题仍为开放问题，尽管在有限时间区间内存在一致收敛。