[论文解读] Clark-Ocone type formula for non-semimartingales with non-trivial quadratic variation

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本论文通过正则化技术，为可分巴拿赫空间中的非半鞅过程构建了随机微积分框架，实现了伊藤公式和一类具有有限二次变差（等于布朗运动）的非半鞅过程的广义克拉克-奥康诺表示。关键贡献是基于无穷维偏微分方程解的混沌展开表示。

ABSTRACT

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space $B$ using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case $B= \R$ by the second author and P. Vallois. A special attention is devoted to the {\it window} process associated with a real finite quadratic variation process which takes naturally values in the Banach space $B= C([- au,0])$. An appropriated Ito formula is presented, from which we derive a generalized Clark-Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite dimensional PDE.

研究动机与目标

• 通过正则化方法将随机微积分扩展至巴拿赫空间值的非半鞅过程。
• 为取值于可分巴拿赫空间 B 的过程定义并分析有限二次变差。
• 将 C([-τ,0]) 中的窗口过程作为路径相关泛函的自然模型进行研究。
• 推导适用于具有非平凡二次变差的非半鞅过程的伊藤公式。
• 基于无穷维偏微分方程的解，建立此类过程的克拉克-奥康诺型表示。

提出的方法

• 将基于正则化的随机微积分框架适配于巴拿赫空间值过程。
• 引入窗口过程，作为与有限二次变差过程相关的 C([-τ,0])-值过程。
• 在巴拿赫空间设定下，为具有非平凡二次变差的过程推导新的伊藤公式。
• 应用伊藤公式推导广义克拉克-奥康诺表示公式。
• 利用无穷维偏微分方程的解，表达过程泛函的混沌展开。
• 通过将二次变差结构与偏微分方程解空间相联系，建立表示关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为取值于可分巴拿赫空间的过程严格定义有限二次变差？
• RQ2 C([-τ,0]) 中的窗口过程在建模非半鞅过程的路径相关泛函中起什么作用？
• RQ3 能否在巴拿赫空间中为具有非平凡二次变差的非半鞅建立伊藤公式？
• RQ4 广义克拉克-奥康诺公式如何推广至二次变差等于布朗运动但并非半鞅的过程？
• RQ5 在此背景下，泛函的混沌展开与无穷维偏微分方程的解之间存在何种联系？

主要发现

• 成功将基于正则化的随机微积分扩展至取值于可分巴拿赫空间 B 的过程。
• 与有限二次变差过程相关的窗口过程自然取值于 C([-τ,0])，从而支持路径相关分析。
• 在巴拿赫空间设定下，为具有非平凡二次变差的非半鞅过程推导出伊藤公式。
• 为具有与布朗运动相同二次变差但非半鞅的过程建立了广义克拉克-奥康诺公式。
• 通过无穷维偏微分方程的解实现泛函的表示，提供了一个混沌展开框架。
• 该框架允许以随机积分和偏微分方程解的形式表示泛函，将经典结果扩展至半鞅理论之外。