[论文解读] Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions

Kathrin Bringmann, Ben Kane|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了整数的三元二次型表示与同余条件之间的一致公式，将其与Hurwitz类数联系起来。证明了对于 genus 类数为一的整系数三元二次型，满足特定变量同余条件的表示数量与总表示数量成正比，比例常数仅依赖于该整数模某一固定模数的同余类。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the interplay between integral ternary quadratic forms and class numbers. This is partially motivated by a question of Petersson.

研究动机与目标

• 通过在变量上引入同余条件，将经典公式中关于平方和与类数的关系进行推广。
• 识别所有 genus 类数为一的三元二次型，使得此类同余限制下的表示计数与总表示计数成比例。
• 系统地确定所有对 $(\bm{h}, N)$，使得表示数 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 与 $r_{\bm{a}}(n)$ 成比例，且比例常数仅依赖于 $n \mod M$。
• 使用Siegel-Weil平均公式与类数理论，为所有此类形式与同余类提供这些比例常数的显式公式。
• 解决Petersson提出的问题，特别是针对 $\bm{a} = (1,1,1)^T$ 和 $N=4$ 的特定同余条件。

提出的方法

• 利用Siegel-Weil平均公式，将带同余条件的表示数与局部密度及类数联系起来。
• 应用Jones对 genus 类数为一的三元二次型的分类，仅关注 genus 类数为一的 $Q_{\bm{a}}$ 形式。
• 应用模形式在同余子群 $\Gamma_0(N)$ 上的权数公式，以界定尖点形式空间的维数，从而验证恒等式。
• 通过比较与 $r_{\bm{a}}(n)$ 和 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 相关的模形式的系数，推导出显式公式，利用关于Eisenstein级数与尖点形式的已知结果。
• 利用类数为一的形式中，genus 平均退化为总表示数的性质，简化分析。
• 基于 $p$-进性质与局部密度，构建仅依赖于 $n \mod M$ 的比例常数 $d_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 的表格。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整系数三元二次型 $Q_{\bm{a}}$（其 genus 类数为一），变量 $\bm{x}$ 上的同余条件所对应的表示数 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 与 $r_{\bm{a}}(n)$ 成一致比例？
• RQ2 比例常数 $d_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 的显式值是什么？它们如何依赖于 $n \mod M$？
• RQ3 Petersson 和 Ebel 观察到的特定 $\bm{h}$ 与 $N$ 下的恒等式能否推广至所有 genus 类数为一的形式？
• RQ4 对 $\bm{x}$ 的同余条件在多大程度上强制表示落在模 $N$ 的固定同余类中？在什么情况下这种强制关系不成立？
• RQ5 如何利用局部密度 $\beta_{(Q,\bm{h},N),p}(n)$ 推导出将表示数与Hurwitz类数联系起来的全局公式？

主要发现

• 对于每个 $\bm{a} \in \mathcal{C}$（即 $Q_{\bm{a}}$ 的 genus 类数为一的形式集合），以及每个 $ (\bm{h}, N) \in \mathcal{S}_{\bm{a}} $，恒等式 $ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) = d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) r_{\bm{a}}(n) $ 成立，其中 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ 仅依赖于 $ n \mod M $。
• 对于 $\bm{a} = (1,1,1)^T$，当 $\bm{h} = (0,1,1)^T$ 时，恒等式 $ r_{\bm{1},\bm{h},4}(n) = \frac{1}{12} \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} r_{\bm{1}}(n) = \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} H(4n) $ 成立，将表示与Hurwitz类数联系起来。
• 对于 $\bm{a} = (1,2,2)^T$ 且 $\bm{h} \in \{(1,0,3)^T, (3,1,2)^T\}$，有 $ r_{\bm{a},\bm{h},6}(n) = \delta_{n \equiv 19 \pmod{24}} (H(4n) - 2H(n)) $，显示出对同余类的非平凡依赖。
• 比例常数 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ 在附录A中明确列出，若该同余类不出现则值为零。
• 该方法证实，此类恒等式仅在 $Q_{\bm{a}}$ 的类数为一时成立，如通过Siegel-Weil平均公式与局部密度分析所示。
• 本文通过权数公式为尖点形式空间的维数提供界，从而可对所有 $\bm{a} \in \mathcal{C}$ 验证模形式恒等式，相关系数列于附录D。