[论文解读] Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Coding theory and cryptography被引用 6

一句话总结

本文研究了 PG(1, q^n) 中 Fq-线性集的等价性与分类，引入 Z(ΓL)-类与 ΓL-类以区分简单与非简单线性集。证明了由迹函数定义的线性集是简单的，并通过在辛对称性下的对偶性构造出非简单线性集，表明此类集合在 n ≥ 5 时存在，且超出伪规管型。ΓL-类与 MRD-码的等价类及 Rédei 型阻断集相关联。

ABSTRACT

The equivalence problem of $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank n of $PG(1,q^n)$ is investigated, also in terms of the associated variety, projecting configurations, $\mathbb{F}_q$-linear blocking sets of R\'edei type and MRD-codes.

研究动机与目标

• 在 PΓL(2, q^n) 等价意义下对 PG(1, q^n) 中 Fq-线性集的秩 n 进行分类。
• 理解两个 Fq-子空间（维数为 n）定义等价线性集的条件。
• 刻画此类线性集为简单集的条件，即等价性蕴含 ΓL-轨道等价性。
• 将线性集的 ΓL-类与相关 MRD-码的等价类及 Rédei 型阻断集关联起来。
• 为 n ≥ 5 且 n ≠ 6，构造出超出已知伪规管型的非简单线性集新例子。

提出的方法

• 引入线性集的 Z(ΓL)-类与 ΓL-类，以细化等价分类。
• 利用 W 上非退化交错形式 β 所诱导的对偶性，通过 Trqn/q ◦ β 定义正交补 U⊥。
• 证明若 U 与 U⊥ 属于不同的 ΓL(2, qn)-轨道，则 LU 为非简单集。
• 应用投影构型与子几何投影理论，将线性集与阻断集及 MRD-码关联。
• 利用阻断集或 MRD-码的等价性对应于 ΓL-类不变量的事实。
• 利用已知的 q-多项式与方向集结果，刻画线性集的秩与权分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 PΓL(2, qn) 作用下，PG(1, q^n) 中两个 Fq-线性集的秩 n 何时等价？
• RQ2 何种条件可确保线性集等价性蕴含其定义子空间的 ΓL-轨道等价性？
• RQ3 在 n ≥ 5 且 n ≠ 6 时，是否存在超出已知伪规管型的非简单 Fq-线性集？
• RQ4 线性集的 ΓL-类如何与它所生成的非等价 MRD-码或 Rédei 型阻断集的数量相关联？
• RQ5 由迹函数 Trqn/q(x) 定义的线性集是否为简单集？其 ΓL-类为何？

主要发现

• 由迹函数 Trqn/q(x) 定义的 Fq-线性集是简单的，其 Z(ΓL)-类与 ΓL-类均为 1。
• 当 n ≤ 4 时，PG(1, q^n) 中所有秩 n 的 Fq-线性集均为简单集。
• 在 n ≥ 5 时，存在超出伪规管型的非简单线性集，其通过辛对称性下的对偶性构造而成。
• 线性集 LU 的 ΓL-类等于包含 LU 的非等价 Fq-线性 Rédei 型阻断集的数量。
• LU 的 ΓL-类对应于从 LU 得到的非等价 MRD-码的数量，具体取决于所用的等价定义。
• 线性集族 LU4 = {⟨(x, δx^{qs} + x^{q^{n-s}})⟩Fqn : x ∈ F_q^n^*} 包含与 LU1–LU3 不等价的线性集，暗示存在新的 MRD-码族。