[论文解读] Classes caract\'eristiques des sch\'emas feuillet\'es

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

本文在任意基上引入了概形上的导出叶状结构，通过导出代数几何推广了经典叶状结构。它在导出de Rham上同调上构造了Hodge滤子，证明了沿导出叶状结构具有平坦联络的完美复形的陈类在相应的Hodge分次部分中消失。这给出了Bott消去定理在正特征下的推广，以及在晶体上同调中的Baum-Bott型留数公式，适用于正特征下完美域上的奇点叶状结构。

ABSTRACT

We study a notion of derived foliations on schemes and derived schemes of arbitrary characteristics. We introduce the Hodge filtration associated to a derived foliation, which functorialy filters derived de Rham cohomology. We use this filtration to study vanishing results of Chern classes of perfect complexes endowed with connexions along derived foliations. As an application, we prove a positive characteristic version of Bott's vanishing theorem and more generally of existence of residues for foliations with singularities due to Baum-Bott in characteristic zero.

研究动机与目标

• 通过导出代数几何将经典叶状结构理论推广到正特征。
• 将导出叶状结构定义为在导出概形上的群胚作用，通过Gm与分次圆周的半直积编码混合Hodge结构。
• 在导出de Rham上同调上构造一个Hodge滤子，以捕捉纵向和法向的上同调数据。
• 证明沿导出叶状结构具有平坦联络的完美复形的陈类在Hodge-分次上同调中消失。
• 将Bott消去定理和Baum-Bott留数公式推广到正特征下的晶体上同调。

提出的方法

• 将导出叶状结构引入为半直积H = Gm ⋉ Z在导出概形上的作用，其中Z来自[MRT19]的分次圆周。
• 通过变形到法丛构造导出de Rham上同调上的Hodge滤子，推广了经典叶状流形上的Hodge滤子。
• 利用Hodge滤子的函子性，证明具有平坦联络的完美复形的陈类在Hodge-0部分中消失。
• 将滤子应用于通过Hodge-PD滤子完成，将导出de Rham上同调与晶体上同调联系起来。
• 为W(k)上光滑仿射概形建立完成de Rham与晶体上同调之间的比较态射，证明其为拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过导出方法将经典Bott消去定理推广到正特征？
• RQ2 Baum-Bott留数公式如何推广到正特征下的奇点叶状结构？
• RQ3 正确的导出叶状结构推广是什么，能同时捕捉来自Gm的分次和来自分次圆周的混合Hodge结构？
• RQ4 导出de Rham上同调上的Hodge滤子如何编码纵向和法向的上同调数据？
• RQ5 在什么条件下，从de Rham到晶体上同调的完成映射是拟同构？

主要发现

• 任何配备沿导出叶状结构平坦联络的完美复形的陈类在导出de Rham上同调的Hodge分次0部分中消失。
• 在正特征下，对于光滑概形X over a perfect field k，若叶状结构来自S = Spec W(k)上导出叶状结构的基变换，则任何度数q > d的叶状结构丛陈类的齐次多项式φ在晶体上同调中消失：φ(c1(D), ..., cd(D)) = 0 in H2q cris(X/W(k))。
• C∗_dR(X/S)上的导出Hodge滤子是乘法的且函子性的，其0次部分计算纵向（叶状）上同调。
• 从Hodge-PD滤子化的de Rham复形到晶体上同调复形的完成映射在W(k)n上光滑仿射概形上是拟同构。
• 构造比较态射ψ: C∗_dR(Spec π0(A)/Sn) → bC∗_cris(Spec π0(A)/Sn)在具有光滑π0(A)的单纯Wn(k)-代数A中是函子性的。
• 关键技术步骤是证明当基概形光滑于k时，晶体上同调复形上的Hodge-PD滤子是完备的，依赖于[Ber74, V-2.3.2]以及向W(k)n提升的存在性。