[论文解读] Classes of critical graphs for tree-depth

Michael D. Barrus, John Sinkovic|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文识别并表征了若干无限图族，这些图族在树深度为 k 时同时具备 k-临界性和 1-唯一性，提供了满足关键猜想的显式构造。证明了完全图 $K_k$、环 $C_{2^{k-2}+1}$、路径 $P_{2^{k-1}}$，以及通过连接团与路径形成的新型图族 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 均同时具备 k-临界性与 1-唯一性，为临界图的归纳构造提供了基础示例。

ABSTRACT

A k-ranking of a graph G is a labeling of the vertices of G with values from {1,...,k} such that any path joining two vertices with the same label contains a vertex having a higher label. The tree-depth of G is the smallest value of k for which a k-ranking of G exists. The graph G is k-critical if it has tree-depth k and any proper minor of G has smaller tree-depth, and it is 1-unique if for every vertex v in G, there exists an optimal ranking of G in which v is the unique vertex with label 1. We present several classes of graphs that are both k-critical and 1-unique, providing examples that satisfy conjectures on critical graphs discussed in [M.D. Barrus and J. Sinkovic, Uniqueness and minimal obstructions for tree-depth, submitted].

研究动机与目标

• 识别并表征在树深度为 k 时同时具备 k-临界性与 1-唯一性的图类。
• 提供此类图的显式构造，以支持关于临界图结构的猜想。
• 验证这些图满足关键猜想，包括 k-临界图的最大度数界限与顶点数约束。
• 建立一个框架，利用 1-唯一性性质归纳构造更大的临界图。

提出的方法

• 通过路径扩展、环添加与团连接构造图族，以实现所需的树深度与临界性。
• 在顶点上应用星-团变换以检验 1-唯一性，使用条件：变换后 $\operatorname{td}(H) < \operatorname{td}(G)$。
• 对 k 使用归纳法，证明 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 中的图具有精确的树深度 k，且在顶点或边删除后仍保持临界性。
• 使用定理 2.6 来限制由不相交并集与诱导子图形成的子图的树深度，确保深度界限得以保持。
• 应用已知的路径树深度公式 ($\lfloor \log_2 n \rfloor + 1$) 与环的树深度公式 ($\lfloor \log_2(n-1) \rfloor + 2$) 来验证基础情形。
• 通过子图深度界限证明 k-临界性：表明删除任意顶点或边后，树深度会降至 k 以下。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个 $k \geq 1$，是否存在同时具备 k-临界性与 1-唯一性的无限图族？
• RQ2 能否通过显式构造支持所有 k-临界图均为 1-唯一的猜想？
• RQ3 图 $R_{k,t}$ 与 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 是否对其各自参数满足 k-临界性与 1-唯一性的条件？
• RQ4 何种结构特性可确保图在顶点与边删除后仍保持 k-临界性与 1-唯一性？
• RQ5 能否利用 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 族归纳生成具有指定树深度的更大临界图？

主要发现

• 完全图 $K_k$ 对所有 $k \geq 1$ 同时具备 k-临界性与 1-唯一性，因为每个顶点在某个最优排名中均可作为唯一的标签 1。
• 环 $C_{2^{k-2}+1}$ 与路径 $P_{2^{k-1}}$ 对所有 $k \geq 2$ 同时具备 k-临界性与 1-唯一性，树深度通过已知的对数公式验证。
• 图族 $R_{k,t}$ 通过在长度为 $2^{k-2}+1+t$ 的路径上添加一条弦构成，对 $k \geq 3$ 且 $0 \leq t \leq 2^{k-2}-2$ 时为 k-临界且 1-唯一，且 $R_{k,0} = C_{2^{k-2}+1}$。
• 图族 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 通过将 $q$ 个团 $H_i$ 连接到大小为 $s$ 的中心集 $B_i$ 构成，对 $k \geq 2$、$s < k$ 且 $q \geq 1$ 时为 k-临界且 1-唯一，其中 $|B_i|$ 构成 $s$ 的划分。
• 对于 $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 中的每个图，每个顶点均为 1-唯一，经由星-团变换条件确认：变换后 $\operatorname{td}(H) < \operatorname{td}(G)$。
• $ackslashmathcal ext{{Q}} ext{{$_{k,s}$}}$ 中的所有图均为 k-临界图，因为删除任意顶点或边后，图的树深度变为 $k-1$，该结论通过子图的归纳深度界限证明。