[论文解读] Classes of infinitely divisible distributions on R^d related to the class of selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Muneya Matsui+1 more|ArXiv.org|Sep 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过扩展连接 Jurek 类（s-自分解）与自分解类之间类别的参数范围，引入并表征了 ℝ^d 上无限可分分布的新类别。它利用关于 Lévy 过程的随机积分映射来定义和分析嵌套子类，通过随机积分表示和 Lévy 测度提供双重表征，关键结果包括迭代映射的定义域与值域条件，以及 Lévy 测度上的矩条件。

ABSTRACT

This paper studies new classes of infinitely divisible distributions on R^d. Firstly, the connecting classes with a continuous parameter between the Jurek class and the class of selfdecomposable distributions are revisited. Secondly, the range of the parameter is extended to construct new classes and characterizations in terms of stochastic integrals with respect to Levy processes are given. Finally, the nested subclasses of those classes are discussed and characterized in two ways: One is by stochastic integral representations and another is in terms of Levy measures.

研究动机与目标

• 在 ℝ^d 中，将连接 Jurek 类与自分解类的连续参数范围进行扩展。
• 通过关于 Lévy 过程的随机积分映射，定义并分析新的无限可分分布类别。
• 通过两种等价方法表征这些映射的值域：随机积分表示和 Lévy 测度结构。
• 研究通过迭代随机积分映射形成的嵌套子类，并推导其成员资格的必要与充分条件。

提出的方法

• 本文通过满足 $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ 的 Lévy 测度的径向分量，定义了 $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 类别，其中 $\ell_\xi$ 非增且 $\lim_{r\to\infty}\ell_\xi(r) = 0$，且 $\alpha < 2$。
• 通过关于 Lévy 过程的随机积分，引入了 $\alpha \in \mathbb{R}$ 的映射 $\Phi_\alpha$，推广了 Sato（2006b）的早期结果。
• 域 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ 通过矩条件表征：$\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$，以及涉及 $\gamma = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\nu(dx)$ 的特定漂移条件。
• 通过迭代 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 构造嵌套子类，并利用随机积分形式与显式 Lévy 测度条件表征其值域。
• 本文证明，$\Phi_\alpha^{m+1}$ 的值域由所有满足 $\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ 的 $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ 构成，其中 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ 通过 $t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$ 定义。
• 建立了成员资格与 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 下预像存在的等价性，利用积分收敛性与矩条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 ℝ^d 中将连接 Jurek 类与自分解类的参数范围从 $\alpha \in [-1,0]$ 扩展？
• RQ2 生成新的无限可分分布类别的随机积分映射 $\Phi_\alpha$ 的精确定义域与值域条件是什么？
• RQ3 如何通过 Lévy 测度与随机积分表示表征通过迭代 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 形成的嵌套子类？
• RQ4 Lévy 测度上的何种矩条件可确保分布属于 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 的值域？
• RQ5 在何种条件下，给定的无限可分分布可作为 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 作用于其定义域内另一分布的像而出现？

主要发现

• 对于 $\alpha < 2$，类别 $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 通过径向 Lévy 测度分量 $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ 推广了 Jurek 类（$K_{-1}$）与自分解类（$K_0$），其中 $\ell_\xi$ 非增且当 $r \to \infty$ 时 $\ell_\xi(r) \to 0$。
• 对于 $\alpha < 0$，本文提供了 $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 中分布可分解性的完整证明，扩展了已知结果。
• 映射 $\Phi\_\alpha$ 通过关于 Lévy 过程的随机积分定义，其定义域 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ 由 $\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$ 与特定漂移条件表征。
• $\Phi_\alpha^{m+1}$ 的值域被完全表征：当且仅当其 Lévy 测度 $\widetilde{\nu}$ 满足 $\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ 时，分布 $\widetilde{\mu}$ 属于值域，其中 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t) = t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$。
• 对于 $0 < \alpha < 2$，$\Phi_\alpha^{m+1}$ 的值域由所有满足 $\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|x|^3}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx) < \infty$ 与 $\widetilde{\gamma} = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx)$ 的 $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ 构成，确保漂移修正项的可积性。
• 本文建立：$\Phi_\alpha^{m+1}(\mu) = \widetilde{\mu}$ 当且仅当 Lévy 测度 $\widetilde{\nu}$ 与漂移 $\widetilde{\gamma}$ 通过积分核 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ 与 $\nu$ 和 $\gamma$ 关联，且积分收敛性确保了值域中的成员资格。