[论文解读] Classes of semigroups modulo Green's relation H

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了通过 Green 关系 ℋ 的逆元定义的幺半群，推广了经典概念如逆幺半群和正则幺半群。它刻画了 ℋ-正则、ℋ-正则与完全逆幺半群，表明 ℋ-交换性与 ℋ 作为同余关系是刻画完全逆幺半群的关键，其应用涵盖密码型与组合型逆幺半群。

ABSTRACT

Inverses semigroups and orthodox semigroups are either defined in terms of inverses, or in terms of the set of idempotents E(S). In this article, we study analogs of these semigroups defined in terms of inverses modulo Green's relation H, or in terms of the set of group invertible elements H(S), that allows a study of non-regular semigroups. We then study the interplays between these new classes of semigroups, as well as with known classes of semigroups (notably inverse, orthodox and cryptic semigroups)

研究动机与目标

• 通过 ℋ 关系模的逆元推广经典幺半群类（如逆幺半群、正则幺半群）。
• 基于 ℋ-逆元与群可逆元集合 ℋ(S) 定义并研究新的幺半群类。
• 研究 ℋ-模逆元与已知幺半群类（尤其是逆幺半群、正则幺半群与密码型幺半群）之间的相互作用。
• 通过 ℋ-交换性、ℋ 为同余关系以及 ℋ(S) = Z(E(S)) 来刻画完全逆幺半群。
• 阐明 ℋ 作为同余关系的作用及其对幺半群结构（特别是逆幺半群）的影响。

提出的方法

• 将模 ℋ 的 a 的相伴元定义为满足 axaℋa 的解，将模 ℋ 的逆元定义为满足 axaℋa 与 xaxℋa 的解。
• 利用元素沿另一元素的逆元构造（a′∥a）刻画 ℋ-逆元，证明其与 axaℋa 的等价性。
• 应用 Green 的预序与关系（ℒ, ℛ, ℋ）分析 ℋ-类内的结构与同余性质。
• 通过 ℋ(a) = ℋ(a²) 刻画群可逆元，将其与极大子群联系起来。
• 证明在完全逆幺半群中，ℋ 是同余当且仅当 ℋ(S) = Z(E(S)) 且 ℋ 是 ℋ-交换的。
• 利用自由逆幺半群的普遍性质，证明完全逆幺半群类在同态像下不封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，元素 a 在 Green 关系 ℋ 模下构成正则对？这一概念如何推广正则幺半群中的逆元概念？
• RQ2 在何种条件下，群可逆元集合 ℋ(S) 是 ℋ-交换的，或构成 Clifford 幺半群？
• RQ3 在逆幺半群中，Green 关系 ℋ 何时为同余？这与密码型幺半群的概念有何关联？
• RQ4 ℋ-正则与 ℋ-逆封闭幺半群如何与经典幺半群类（如正则与逆幺半群）相关联？
• RQ5 完全逆幺半群类在同态像下是否封闭？这对它的代数结构意味着什么？

主要发现

• 幺半群 S 是完全逆当且仅当其为正则且 ℋ(S) 是 ℋ-交换的。
• 幺半群 S 是完全逆当且仅当 ℋ(S) 是 Clifford 幺半群。
• 幺半群 S 是完全逆当且仅当 ℋ(S) = Z(E(S))，即幂等元的中心化子。
• 完全逆幺半群满足 ℋ = μ = ν = ρℋ(S)，其中 μ 是分离幂等元的最大同余。
• 双循环幺半群是完全逆的，因为 ℋ(S) = E(S)；更一般地，任意组合型逆幺半群都是完全逆的。
• 完全逆幺半群类不是 (2,1)-代数的种类，因为它在同态像下不封闭——例如，自由逆幺半群可同态映射到一个非完全逆的逆幺半群。