[论文解读] Classical 2-absorbing submodules of modules over commutative rings

Hojjat Mostafanasab, Ünsal Teki̇̀r+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了交换环上模中的经典2-吸收子模，推广了经典素子模与2-吸收子模的概念。建立了关键刻画，证明了诺特模包含有限多个极小的经典2-吸收子模，并通过分解定理完全描述了有限个模的直积中此类子模的结构。

ABSTRACT

In this article, all rings are commutative with nonzero identity. Let $M$ be an $R$-module. A proper submodule $N$ of $M$ is called a classical prime submodule, if for each $m\in M$ and elements $a,b\in R$, $abm\in N$ implies that $am\in N$ or $bm\in N$. We introduce the concept of "classical 2-absorbing submodules" as a generalization of "classical prime submodules." We say that a proper submodule $N$ of $M$ is a classical 2-absorbing submodule if whenever $a,b,c\in R$ and $m\in M$ with $abcm\in N$, then $abm\in N$ or $acm\in N$ or $bcm\in N$.

研究动机与目标

• 通过引入经典2-吸收子模的概念，推广经典素子模。
• 研究交换环上模中经典2-吸收子模的结构性质。
• 根据其在乘法与包含关系下的行为，刻画经典2-吸收子模。
• 确定经典2-吸收子模、经典素子模与2-吸收子模之间的关系。
• 通过分解定理，完全描述有限个模的直积中经典2-吸收子模的结构。

提出的方法

• 将经典2-吸收子模定义为R-模M的真子模N，使得对所有a,b,c ∈ R和m ∈ M，若abc m ∈ N，则必有ab m ∈ N或ac m ∈ N或bc m ∈ N。
• 利用模的满同态与商模，证明在满同态下，经典2-吸收子模的原像与像仍为经典2-吸收子模。
• 证明通过模同态的拉回与上推在核与像满足特定条件时，保持经典2-吸收子模的性质。
• 利用归纳法与可分解环上的分解，根据其在模的直积中的行为对经典2-吸收子模进行刻画。
• 通过证明经典2-吸收子模在有限直积中要么源于单个因子中的经典2-吸收子模，要么源于两个不同因子中的两个经典素子模，建立其结构定理。
• 利用可分解环与模的结构，将问题约化为更简单的分量，借助关于直积模中经典素子模的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在交换环上的模中，什么情况下一个子模是经典2-吸收子模？
• RQ2 经典2-吸收子模与经典素子模、2-吸收子模之间有何关系？
• RQ3 在可分解环上有限个模的直积中，经典2-吸收子模的结构是怎样的？
• RQ4 诺特模是否仅包含有限多个极小的经典2-吸收子模？
• RQ5 当环为可分解环时，如何精确刻画模的直积中经典2-吸收子模的结构？

主要发现

• 每个经典素子模都是经典2-吸收子模，确立了推广的层级关系。
• 在诺特R-模M中，仅有有限多个极小的经典2-吸收子模。
• 模M的子模N是经典2-吸收子模，当且仅当其在满同态下的像为经典2-吸收子模；反之，若原像包含核，则其为经典2-吸收子模。
• 对于可分解环R = R₁ × ⋯ × Rₙ上R-模的有限直积M = M₁ × ⋯ × Mₙ，其真子模N是经典2-吸收子模，当且仅当它满足：要么某一因子为经典2-吸收子模而其余因子为全模，要么两个因子为经典素子模而其余因子为全模。
• 在直积情形下，经典2-吸收子模仅来源于单个分量中的经典2-吸收子模，或来源于两个不同分量中的两个经典素子模。
• 在直积模中，经典2-吸收子模的结构完全由分量模中经典素子模的结构决定，如通过归纳法与可分解环上的分解所展示。