[论文解读] Classical Algorithms for Constant Approximation of the Ground State Energy of Local Hamiltonians

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2024

Numerical methods for differential equations被引用 1

一句话总结

本文提出经典算法，对 n 量子比特上的 k-局部哈密顿量的基态能量实现常数近似。在具有重叠 χ 的引导态的样本与查询访问下，该算法在 poly(1/χ, n) 时间和 poly(n) 空间内实现常数精度估计，其复杂度与量子算法相比仅存在多项式级开销。在无引导情形下，该算法实现 2^O(n) 时间和 poly(n) 空间，解决了关于同时效率边界的开放问题。

ABSTRACT

We construct classical algorithms computing an approximation of the ground state energy of an arbitrary $k$-local Hamiltonian acting on $n$ qubits. We first consider the setting where a good ``guiding state'' is available, which is the main setting where quantum algorithms are expected to achieve an exponential speedup over classical methods. We show that a constant approximation (i.e., an approximation with constant relative accuracy) of the ground state energy can be computed classically in $\mathrm{poly}\left(1/χ,n ight)$ time and $\mathrm{poly}(n)$ space, where $χ$ denotes the overlap between the guiding state and the ground state (as in prior works in dequantization, we assume sample-and-query access to the guiding state). This gives a significant improvement over the recent classical algorithm by Gharibian and Le Gall (SICOMP 2023), and matches (up a to polynomial overhead) both the time and space complexities of quantum algorithms for constant approximation of the ground state energy. We also obtain classical algorithms for higher-precision approximation. For the setting where no guided state is given (i.e., the standard version of the local Hamiltonian problem), we obtain a classical algorithm computing a constant approximation of the ground state energy in $2^{O(n)}$ time and $\mathrm{poly}(n)$ space. To our knowledge, before this work it was unknown how to classically achieve these bounds simultaneously, even for constant approximation. We also discuss complexity-theoretic aspects of our results.

研究动机与目标

• 在引导哈密顿量设定下，弥合经典与量子算法在基态能量估计方面的差距。
• 在无引导局部哈密顿量问题中，实现经典算法在 2^O(n) 时间和 poly(n) 空间下的同时高效性，这是此前未解决的挑战。
• 提供一种经典替代方案，用于量子相位估计算法，其复杂度与量子加速效果在常数精度近似下相当。
• 在 QMA-难性和量子 PCP 猜想的背景下，建立经典去量化带来的复杂性理论影响。

提出的方法

• 通过量子奇异值变换（QSVT）框架对谱投影算符进行多项式逼近，并将其适配于经典计算。
• 在能量区间上使用二分查找，利用基于低次多项式的测试函数，检测能量是否低于或高于某一阈值。
• 应用集中估计器，通过样本与查询访问引导态，以高概率近似期望值 ⟨ψ|P(A′)|ψ⟩。
• 构造一个参数为 τ、θ、ξ 的多项式 P，确保当能量低于阈值时，期望值 ⟨ψ|P(A′)|ψ⟩ 较大，而当能量高于阈值时较小，从而支持二分查找。
• 在 O(1/ε) 次测试中使用并集界，以确保最终估计的高概率正确性。
• 在无引导情形下，构造一个最大纠缠态作为具有已知重叠 2^(-n/2) 的引导态，从而可应用引导算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典算法能否在时间复杂度与量子算法相当的前提下，实现对 k-局部哈密顿量基态能量的常数精度近似？
• RQ2 是否可能在无引导局部哈密顿量问题中，同时实现 2^O(n) 时间和 poly(n) 空间的经典基态能量估计？
• RQ3 在引导设定下，经典算法要与量子算法复杂度相当，所需的最小重叠 χ 是多少？
• RQ4 使用对引导态的样本与查询访问，如何实现经典模拟如相位估计算法等量子算法？
• RQ5 经典去量化对局部哈密顿量问题和量子 PCP 猜想等复杂性问题有何复杂性理论影响？

主要发现

• 当给定对重叠为 χ 的引导态的样本与查询访问时，经典算法可在 poly(1/χ, n) 时间和 poly(n) 空间内计算出基态能量的常数近似。
• 与先前工作（Gharibian 和 Le Gall, 2023）相比，运行时间从 n^O(log(1/χ)/ε) 提升至 poly(1/χ^{1/ε}, n)，在 1/χ 依赖上实现指数级加速。
• 对于常数精度（ε = Ω(1)），时间复杂度为 poly(1/χ, n)，与量子算法复杂度相比仅存在多项式级开销。
• 这是首个在无引导局部哈密顿量问题中实现 2^O(n) 时间和 poly(n) 空间的经典算法，解决了长期存在的开放问题。
• 该算法使用一种基于多项式逼近与集中估计的新型二分查找框架，以高置信度定位基态能量。
• 通过将最大纠缠态构造为通用引导态，使引导算法可应用于无引导情形，从而在 χ = 2^{-n/2} 时获得 2^O(n) 时间界。